Question

求微分方程y"+y'=x满足y'(0)=1,y(0)=0的特解

Answer 1

∵特征方程是r²+r=0,则r1=0,r2=-1
∴齐次方程y"+y'=0的通解是y=C1+C2e^(-x) (C1,C2是积分常数)
设原方程的一个解为y=Ax²+Bx
∵y'=2Ax+B,y''=2A
代入原方程得2A+2Ax+B=x
==>2Ax+(2A+B)=x
==>2A=1,2A+B=0
==>A=1/2,B=-1
∴原方程的特解是y=x²/2-x
∴原方程的通解是y=C1+C2e^(-x)+x²/2-x
==>y'=-C2e^(-x)+x-1
∵y'(0)=1,y(0)=0
==>C1+C2=0,-C2-1=1
==>C1=2,C2=-2
∴y=2-2e^(-x)+x²/2-x
故原方程满足所给初始条件的特解是y=2-2e^(-x)+x²/2-x.