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一道高中数学题,会的请立刻解答,非常急!!!谢谢了!
函数f(x)=ax^3-3x^2,a>0(1),a=1/3,h(x)=f(x)的导数+6x,证明,当x大于0时,h(x)≥2elnx(2),g(x)=f(x)+f(x)的...
函数f(x)=ax^3-3x^2,a>0
(1),a=1/3,h(x)=f(x)的导数+6x,证明,当x大于0时,h(x)≥2elnx
(2),g(x)=f(x)+f(x)的导数,x属于[0,2],在x=0处取最大值,求a的范围 展开
(1),a=1/3,h(x)=f(x)的导数+6x,证明,当x大于0时,h(x)≥2elnx
(2),g(x)=f(x)+f(x)的导数,x属于[0,2],在x=0处取最大值,求a的范围 展开
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a=1/3==》f(x)=1/3x^3-3x^2
==>f'(x)=x^2-6x
==>h(x)=x^2
假设F(x)=h(x)-2elnx
==>F'(x)=2x-2e/x
==>当x=根号e时候, F'(x)=0
即当x=根号e时候, F(x)有最小值0
即F(x)>=0
即当x大于0时,h(x)≥2elnx
2)因为f(x)=ax^3-3x^2
所以f'(x)=3ax^2-6x
则g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3-3x^2+3ax^2-6x=ax^3+3(a-1)x^2-6x
因为,当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值,此时g(0)=0
所以,当x在(0,2]上时,必然有g(x)<g(0)=0,即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0
由于x>0,
故可得ax^2+3(a-1)x-6<0(这是将不等式两边同除以x得到的,不等号不变方向)
将得到的不等式看成是关于a的不等式,合并同类项,得
ax^2+3ax-3x-6<0
(x^2+3x)a-3x-6<0
a<(3x+6)/x(x+3)
对(3x+6)/x(x+3)进行拆解,(3x+6)/x(x+3)=2/x + 1/(x+3)
所以有a<2/x + 1/(x+3)
当x在(0,2]上时,
2/x在x=2处取得最小值为1,
1/(x+3)在x=2处取得最小值为1/5,
所以,2/x + 1/(x+3)在(0,2]上在x=2处有最小值是6/5,
那么a只要小于2/x + 1/(x+3)在(0,2]上的最小值,就可以满足题目中的条件
所以,0<a<6/5
==>f'(x)=x^2-6x
==>h(x)=x^2
假设F(x)=h(x)-2elnx
==>F'(x)=2x-2e/x
==>当x=根号e时候, F'(x)=0
即当x=根号e时候, F(x)有最小值0
即F(x)>=0
即当x大于0时,h(x)≥2elnx
2)因为f(x)=ax^3-3x^2
所以f'(x)=3ax^2-6x
则g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3-3x^2+3ax^2-6x=ax^3+3(a-1)x^2-6x
因为,当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值,此时g(0)=0
所以,当x在(0,2]上时,必然有g(x)<g(0)=0,即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0
由于x>0,
故可得ax^2+3(a-1)x-6<0(这是将不等式两边同除以x得到的,不等号不变方向)
将得到的不等式看成是关于a的不等式,合并同类项,得
ax^2+3ax-3x-6<0
(x^2+3x)a-3x-6<0
a<(3x+6)/x(x+3)
对(3x+6)/x(x+3)进行拆解,(3x+6)/x(x+3)=2/x + 1/(x+3)
所以有a<2/x + 1/(x+3)
当x在(0,2]上时,
2/x在x=2处取得最小值为1,
1/(x+3)在x=2处取得最小值为1/5,
所以,2/x + 1/(x+3)在(0,2]上在x=2处有最小值是6/5,
那么a只要小于2/x + 1/(x+3)在(0,2]上的最小值,就可以满足题目中的条件
所以,0<a<6/5
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你自己改一下格式:
解:(1)因为 f(x)=1/3x^3-3x^2,所以f'(x)=x^2-6x
所以h(x)=f'(x)+6x=x^2,令F(x)=x2-2elnx,(x>0)∴ F′(x)=2x-2e/x=2(x-根号e)(x+根号e)/x
所以 x∈(0,根号e],F′(x)≤0;x∈[根号e,+∞),F′(x)≥0
所以当 x=e时,F(x)取得极小值, F(e)为F(x)在(0,+∞)上的最小值
因为 F(e)=(e)2-2elne=0
所以 F(x)=x2-2elnx≥F(e)=0,即x2≥2elnx
(2)g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[0,2]
g'(x)=3ax2+2(3a-3)x-6(*),令g'(x)=0有△=36a2+36>0
设方程(*)的两根为x1,x2则, x1x2=-2a<0设x1<0<x2
当0<x2<2时,g(x2)为极小值,所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2);
当x2≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,最大值为g(0),所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2);
又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(2)
即0≥20a-24解得 a≤65,所以 a∈(0,65]
解:(1)因为 f(x)=1/3x^3-3x^2,所以f'(x)=x^2-6x
所以h(x)=f'(x)+6x=x^2,令F(x)=x2-2elnx,(x>0)∴ F′(x)=2x-2e/x=2(x-根号e)(x+根号e)/x
所以 x∈(0,根号e],F′(x)≤0;x∈[根号e,+∞),F′(x)≥0
所以当 x=e时,F(x)取得极小值, F(e)为F(x)在(0,+∞)上的最小值
因为 F(e)=(e)2-2elne=0
所以 F(x)=x2-2elnx≥F(e)=0,即x2≥2elnx
(2)g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[0,2]
g'(x)=3ax2+2(3a-3)x-6(*),令g'(x)=0有△=36a2+36>0
设方程(*)的两根为x1,x2则, x1x2=-2a<0设x1<0<x2
当0<x2<2时,g(x2)为极小值,所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2);
当x2≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,最大值为g(0),所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2);
又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(2)
即0≥20a-24解得 a≤65,所以 a∈(0,65]
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