Question

一道高中数学题，会的请立刻解答，非常急！！！谢谢了！

函数f（x）＝ax^3-3x^2，a>0
(1)，a=1/3，h（x）＝f（x）的导数＋6x，证明，当x大于0时，h（x）≥2elnx
(2)，g（x）＝f（x）＋f（x）的导数，x属于[0，2]，在x＝0处取最大值，求a的范围

Answer 1

a=1/3==》f(x)=1/3x^3-3x^2
==>f'(x)=x^2-6x
==>h(x)=x^2
假设F（x）=h(x)-2elnx
==>F'(x)=2x-2e/x
==>当x=根号e时候， F'(x)=0
即当x=根号e时候， F（x）有最小值0
即F（x)>=0
即当x大于0时，h（x）≥2elnx
2）因为f(x)=ax^3-3x^2
所以f'(x)=3ax^2-6x
则g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3-3x^2+3ax^2-6x=ax^3+3(a-1)x^2-6x

因为,当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值,此时g(0)=0
所以,当x在(0,2]上时,必然有g(x)<g(0)=0,即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0
由于x>0,
故可得ax^2+3(a-1)x-6<0(这是将不等式两边同除以x得到的,不等号不变方向)

将得到的不等式看成是关于a的不等式,合并同类项,得
ax^2+3ax-3x-6<0
(x^2+3x)a-3x-6<0
a<(3x+6)/x(x+3)

对(3x+6)/x(x+3)进行拆解,(3x+6)/x(x+3)=2/x + 1/(x+3)
所以有a<2/x + 1/(x+3)

当x在(0,2]上时,
2/x在x=2处取得最小值为1,
1/(x+3)在x=2处取得最小值为1/5,
所以,2/x + 1/(x+3)在(0,2]上在x=2处有最小值是6/5,
那么a只要小于2/x + 1/(x+3)在(0,2]上的最小值,就可以满足题目中的条件
所以,0<a<6/5

Answer 2

你自己改一下格式：
解：（1）因为 f(x)=1/3x^3-3x^2，所以f'（x）=x^2-6x
所以h（x）=f'（x）+6x=x^2，令F（x）=x2-2elnx，（x＞0）∴ F′(x)=2x-2e/x=2(x-根号e)(x+根号e)/x
所以 x∈(0，根号e]，F′(x)≤0；x∈[根号e，+∞)，F′(x)≥0
所以当 x=e时，F（x）取得极小值， F(e)为F（x）在（0，+∞）上的最小值
因为 F(e)=(e)2-2elne=0
所以 F(x)=x2-2elnx≥F(e)=0，即x2≥2elnx
（2）g（x）=ax3+（3a-3）x2-6x，x∈[0，2]
g'（x）=3ax2+2（3a-3）x-6（*），令g'（x）=0有△=36a2+36＞0
设方程（*）的两根为x1，x2则， x1x2=-2a＜0设x1＜0＜x2
当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值，所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
当x2≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，最大值为g（0），所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24解得 a≤65，所以 a∈(0，65]