Question

已知P为椭圆x^2/4+y^2=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求绝对值PF1^2+绝对值PF2^2的最小值

Answer 1

椭圆 x²/4+y²=1 中，a=2 b=1
∴c=√(4+1)=√5
椭圆的焦点坐标是 F1(-√5,0),F2(√5,0)
设P（x,y)是椭圆上的点
则 |PF1²+PF2²|=(x+√5)²+y²+(x-√5)²+y²
∵y²=1-x²/4
∴|PF1²+PF2²|=(x²+2√5x+5+1-x²/4)+(x²-2√5x+5+1-x²/4)
=3x²/2+12
对于f(x)=3/x²/2+12
当x=0时，f(x)有最小值12
即|PF1²+PF2²| 的最小值是12

实际上从几何意义而言，PF1²+PF2²取最小值时，P点应该在 Y轴
即P点的坐标是（0，1）和（0，-1）
所以，取最小值时 PF1²+PF2²=(0+√5)²+1+(0-√5)²+1=12

Answer 2

PF1^2+PF2^2=(PF2+PF2)^2-2PF1PF2>=
=(PF2+PF2)^2 -(PF2^+PF2^2) , 所以2(PF1^2+PF2^2)>=
=(PF2+PF2)^2 =4a^2,
(PF1^2+PF2^2)>=2a^2=8, 当且仅当PF2=PF2 =a时取等号.

Answer 3

PF1^2+PF2^2=(2a-PF2)^2+PF2^2
=2PF2^2-4aPF2+4a^2
=2(PF2-a)^2+2a^2
PF2=a,最小值2a^2
a=2,最小值=8