Question

数学求助~！！设双曲线X^2/4-Y^2/9=1,F1、F2是其两个焦点,点P在双曲线右支上。

1.若角F1PF2=60°时，三角形F1PF2的面积是多少？2.若角F1PF2=120°时，三角形F1PF2的面积又是多少？3.你能看出随角F1PF2的变化，三角形F1PF2的面积将怎样变化吗？证明你的结论。

要详细的过程，谢谢

Answer 1

1、a=2,b=3,c=√13， 设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n, 根据双曲线定义，m-n=2a=4， 两边平方， m^2+n^2-2mn=16,(1) 向量PF1-PF2=F2F1， |PF1|^2+|PF2|^2-2PF1·PF2=|F1F2|^2=(2c)^2=52, m^2+n^2-2mn*cos60°=52， m^2+n^2-mn=52,(2) (2)-(1)式， mn=36, ∴S△PF1F2=（1/2）mn*sin60°=9√3。 2、向量PF1-PF2=F2F1， m^2+n^2-2mn*cos120°=52， m^2+n^2+mn=52,(3) (3)-(1)式， 3mn=36, mn=12, ∴S△PF1F2=（1/2）mn*sin120°=3√3。 3、设〈F1PF2=φ， m^2+n^2-2mn*cosφ=52,(4), (1)-(4)式， -2mn(1-cosφ)=-36, mn=18/(1-cosφ), S△PF1F2=(mn/2)sinφ =9*2sin(φ/2)cos(φ/2)/[2sin(φ/2)^2] =9cot(φ/2), φ从0（不能是0）至π变化， 角度越大，面积越小，在右支无穷远处，夹角近于0，面积无穷大，夹角为180度，即在右顶点处，三角形变成一线段，面积为0。 三角形面积S=b^2*cot(φ/2).