Question

一道简单的定积分求阴影面积？

正方形边长为1，阴影由两个1/4圆重叠而成。怎么用定积分求阴影面积？

Answer 1

圆心在 x 轴上的圆极坐标方程是 r = 2cost，
圆心在 y 轴上的圆极坐标方程是 r = 2sint，由对称性，得
阴影面积 S = 2∫<0, π/4> (1/2)(2sint)^2dt = ∫<0, π/4> 4sint^2dt
= 2∫<0, π/4>(1-cos2t)dt = 2[t-(1/2)sin2t]<0, π/4> = (π-2)/2
初等解法： S = 2(π/4-1/2) = (π-2)/2

Answer 2

在中小学练习中，经常出现求阴影面积的问题，其中大多数容易入手，套用面积公式或经简单割补拼接凑可得方法。
但有少数题目题目难以用常规方法处理，如下图题：
图一：原题图形
矩形ABCD长AD=8宽AB=4,以边AD为直径的半圆与对角线BD交于点F，G是BC中点，求阴影BFG面积。
本题看似简单，经过分析发现，没有现成公式，经过简单的割补拼接凑也不能得到基本几何图形的有效组合，因为它要用到反三角或定积分计算。
法一：如下图建立坐标系，用定积分思想求解，具体过程略。
图二：建立坐标系
法二：采用反三角法
同上图二，以AD中点O为原点，OA为x正半轴，OG为y正半轴坐标系，由BD方程y=1/2x+2和圆O方程y=√(16-x^2)联立解得坐标点F(2.4,3.2)，由此可求得∠EOF=arcsin(3/5)。
剩余步骤省略
这个问题的关键点在于求得∠EOF大小，不是常见的特殊角，需要用反三角表示。

Answer 3

这是两个圆的交叠区域： 0 ≤ x ≤ 1
(x-1)² + y² = 1 ①
x² + (y-1)² = 1 ②
由 圆① 可以得到：
y1 = √[1-(x-1)²]
由 圆② 可以得到：
y2 = 1 - √(1-x²)
那么，在任意一个 x 邻域内，都有：
ds = (y1 - y2) * dx
= {√[1-(x-1)²] + √(1-x²) - 1} * dx
所以，面积的积分表达式就等于：
S = ∫ds
= ∫{√[1-(x-1)²] + √(1-x²) - 1} * dx 积分范围：x = 0 → 1