Question

“常数变易法”有效的原理

Answer 1

在学习高数的过程中，关于为什么在解一阶线性微分方程的时候要使用常数变易法，为什么可以使用常数变易法，常数变易法为什么是有效并且正确的，老师都语焉不详，一笔带过，导致一直不能很好地理解其中的数学思想。自己也只能接受老师的解释，将这个方法强行合理化。

但是最近再次看到一阶线性微分方程的求解，看到直接给出来的求解公式一头雾水，再去翻书，始终还是感觉隔靴搔痒，雾里看花，始终不自在，所以上网搜索了一下，搜到了一篇相关文章（ 常数变易法的解释 ），终于明白了其中蕴含的深刻而巧妙的数学思想，喜不自禁。

所以在此记录下个人的理解，一则梳理自己的思路，二则可供感兴趣的同学参考，倘能有助于大家理解常数变易法的“自然”性，亦是幸甚。

有以下一阶线性微分方程： 其中， 且 。

若解其对应的齐次方程： 则易有： 即为齐次方程的 通解 。

这时，我们可以用 常数变易法 来求非齐次方程 的通解，即滑睁将齐次方程 的通解中的常数 换成（变易为）一个关于 的未知函数 ，变易之后，非齐次方程通解表示如下： 于是将该通解形式代入原方程 ，可以解得： 将上式代入 式，即可解得： 这就是所谓 常数变易法 。
可以看到，这里把常数 直接代换为了函数 ，显得十分生硬不自然，没有什么说服力。然而书上很少会对这个方法的由来作出介绍，所以想必会使很多人感到困惑。

对于常数变易法，我以前的理解是：
既然 可以使戚岁齐次方程 成立，那么在其基础上增添一个函数，就应该使得该方程运算结果多出一个与自由项相关的余项 ，所以可以使用常数变易法。
这样的理解是基于表面形式做出的一个解释，然而还是不能够明确地说明这个方法的正当性与正确性。
所以我们需要进一步探究其内在的原理。

容易理解，我们可以把任意函数表示成为两个函数之积，即 对 求导，得：

将 ， 代入非齐次方程 ，整理得到： 由解一阶线性微分方信仔岁程的常用方法 分离变量法 容易想到，如果没有 这一项，我们就可以简便地利用分离变量法进行计算。
现在单独考察 这一项。其中 不确定，不能用来保持 ，所以考虑另一个因式 。显然 是不确定的，在 不确定的情况下，可以任意取值。则假设 满足 观察式 ，可以看到其形式与式 基本一致。
求解式 ，可以得其通解形式： 将所得通解代入 ，则 将 式代入 式，得到： 使用 分离变量法 ，容易解得： 将 同时代入式 ，则 令 ，则得原一阶线性微分方程的通解为：

问题链接： 常数变易法思想的来源或本质是什么？
现在有一般 阶线性微分方程
由前述有， 可以表示为 。
现在我们考察两函数乘积的高阶微分形式。
比较 二项式展开定理 我们不难发现，对 的高阶微分具有类似的形式。
比如：
从原理上来看，展开多项式的每一项都应有 阶微分，而这 阶微分分别分配在 上；对于多项式的每一项，相当于任选 个微分算子作用于 ，则另有 个微分算子作用于 ，与 二项式展开定理 本质相同，所以展开形式也应相同。
则有式 ：
将这个一般形式代回式 ，假设将 作为主要研究对象（以 为主要研究对象亦可，二者地位相同），则按 的导数降阶排列多项式：
其中， 为关于 的多项式。
按一阶情况下的原理，可以令多项式 消去 项。解 即为解式 对应的齐次线性微分方程。
则剩下的式子为
令 ，则上式化为
比较式 ，可以看到：通过 常数变易法 ，成功地把求解一个 阶线性微分非齐次方程的问题，为了求解一个对应的 阶线性微分齐次方程和一个 阶线性微分非齐次方程的问题。

很显然我们可以看到， 常数变易法 是蕴含了很深刻的数学思想、具有很强健的数学基础的解题方法，并非无根之萍，更不是突发奇想或是强行合理。
但是从其原理上来讲，将其称呼为“常数变易法”是不太妥当的，本质上它并非是单纯地使用一个函数来替代了齐次方程通解的常数。
常数变易法 的称呼应该说为了便于日常应用和直观记忆，这里可以不必纠结。

[1] lookof, 常数变易法的解释
[2] 崔士襄,邯郸农业高等专科学校, “常数变易法”来历的探讨