Question

如图,直线y=3x+3交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0

在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由
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Answer 1

设抛物线方程为 y=ax^2+bx+c
由题意，抛物线过 A(-1,0) , B(0,3) , C(3,0) 三点
将三点坐标带入方程，解得
a=-1, b=2, c=3
即抛物线方程为 y=-x^2+2x+3
若使△ABQ为等腰三角形
1）△ABQ为以AB为底边的等腰三角形
则Q，必然在AB的垂直平分线上
AB中点坐标为（-1/2，3/2）
AB中垂线的斜率K 与AB斜率Kab存在如下关系
K·Kab=-1 ，又Kab=3
所以K=-1/3
由点斜式方程得AB中垂线方程为：y-3/2=-1/3(x+1/2)
简化即：y=-1/3x+4/3 与y=-x^2+2x+3 联立得
3x^2-7x-5=0
△=49-4*3*(-5)=109>0 方程有解，解出即得Q点坐标
2）△ABQ是以A为顶点的等腰三角形
则AB=AQ
设Q点坐标为Xq,Yq
AB^2=1^2+3^2=10
由题意Q点为以A为圆心，AB为半径的圆与抛物线的焦点
设圆的坐标为(x+1)^2+y^2=10
代入y=-x^2+2x+3 求解即得Q点坐标
3）△ABQ是以B为顶点的等腰三角形,同2）

Answer 2

y=3x+3
x=0,y=3
y=0,x=-1
这三点都在抛物线上
(0,3)(-1,0)(3,0)
得对称轴x=2
所以设抛物线方程
y=a(x-1)^2+b
把(0,3)代入得
3=a+b
把(3,0)代入得
0=4a+b
联立解得
a=-1,b=4
解析式y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3
称轴上是否存在点Q(1,y)
(1)若AQ=BQ
2^2+y^2=1^2+(y-3)^2
解得y=1,Q(1,1)
(2)若AB=BQ
3^3+3^3=1^2+(y-3)^2
y=(6±√66)/2
Q(1,(6±√66)/2)
(2)若AB=AQ
3^3+3^3=2^2+y^2
y=±√14
Q(1,±√14)
所以共有5个Q点
Q(1,1)，(1,(6±√66)/2)，Q(1,±√14