Question

相互垂直的两条直线,它们的斜率关系证明是怎么样的？

Answer 1

证明如下：

方法一：

设两条直线的斜率为k1,k2,倾斜角为a,b。

如果两条直线垂直,那么它们之间的夹角为90度。

所以tan(a-b)=tan90=(tana-tanb)/(1+tanatanb)=无穷大。

因为tana=k1,tanb=k2。

所以1+tanatanb=1+k1k2=0。

因此k1k2=-1。

方法二：

设一条直线的斜率是tana,另一条是tanb，两条线的夹角为b-a。

tan(b-a)=[tanb-tana]/[1+tana tanb]。

如果 1 + tana tanb = 0,即 tana tanb = -1。

那么 b - a = 90度。

所以,结论是：两条直线如果互相垂直,则两直线的斜率之积为-1。