Question

已知椭圆x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的离心率为√6/3

过椭圆上一点M做直线MA,MB,交椭圆于AB两点，且斜率分别为k1k2若AB关于原点对称，则k1*k2的值为

Answer 1

已知椭圆x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的离心率为√6/3；过椭圆上一点M做直线MA,MB,交椭圆于AB两点，且斜率分别为k1k2若AB关于原点对称，则k₁K₂的值为
解：e=c/a=√6/3，e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=2/3，3a²-3b²=2a²，故b²=(1/3)a²，于是得椭圆方程为：
x²/a²+3y²/a²=1，即有x²+3y²=a²..........(1)
设M点的坐标为(m，n)；A点的坐标为(x₁，y₁)，那么B点的坐标为(-x₁，-y₁).
MA所在直线的斜率K₁=(n-y₁)/(m-x₁)；MB所在直线的斜率k₂=(n+y₁)/(m+x₁)
故K₁k₂=(n²-y²₁)/(m²-x²₁).............(2)
其中,x²₁=a²-3y²₁；m²=a²-3n²；代入(2)式得：
K₁K₂=(n²-y²₁)/[(a²-3n²)-(a²-3y²₁)]=(n²-y²₁)/[-3(n²-y²₁)]=-1/3.

Answer 2

设A(m，n)、B(－m，－n)，M(p，q)，则：
k1*k2=[(q－n)/(p－m)]×[(q＋n)/(p＋m)]=[q²－n²]/[p²－m²]
又：A、B、M都在椭圆上，则：
m²/a²＋n²/b²=1，p²/a²＋q²/b²=1
两式相减，得：(m²－p²)/a²＋(n²－q²)/b²=0
即：[q²－n²]/[p²－m²]=－b²/a²
则：k1*k2=－b²/a²=－(a²－c²)/a²=(c²/a²)－1=e²－1=－1/3