Question

在平面直角坐标系中，o为坐标原点，A,B,C三点满足向量OC=1/3OA+2/3OB (都是向量）。求证A,B,C三点共线

Answer 1

1.证明：oc=1/3oa+2/3ob 可变为 oc-oa=2/3(ob-oa)，即ac=2/3ab，说明ac和ab两向量同向，所以ABC三点共线。

2.解：oa=（1，COSX），ob=（1+SINX，COSX）

利用（1）中的证明结果ac=2/3ab可知

oc=（SINX*2/3+1，COSX）

由此可知，|ab|=√（SINX的平方）=SINX（由条件X属于[0,派π/2]可得SINX>0），

再将oa，oc和|ab|的值代入F(X)=oa*oc-（2M^2+2/3)*|ab|，

化简可得，F(X)=2-(SINX)^2-SINX*2M^2，

令SINX=t，由0≤x≤π 得0≤SINX≤1，即0≤t≤1，

则原函数可变为F（t）=-t^2-2m^2*t+2，

由二次函数性质可知，其对称轴t<0且开口向下，图像经过y轴（0，2）点，

则F（t）在0≤t≤1上是单调递减的，

所以当t=1时，即x=π/2时，F（X）可取得最小值1/2，

代入化简即得M^2=1/4，所以M=1/2 或 M=-1/2.

Answer 2

证明：（式子中都是向量表示哈！）
OC=2/3OB+1/3OA
=OB+1/3BO+1/3OA
=OB+1/3BA
因为OC=OB+BC
所以BC=1/3BA
所以 A,B,C三点共线

Answer 3

OC = k1OA+k2OB
k1+k2 = 1/3 +2/3 = 1
A,B,C三点共线

Answer 4

1.证明：oc=1/3oa+2/3ob 可变为 oc-oa=2/3(ob-oa)，即ac=2/3ab，平行，所以ABC三点共线