Question

设函数在a,b上有二阶导数,且f''(x)>0,证明

Answer 1

泰勒展开即可。

先证f((a+b)/2)≤(1/(b-a))\int_{a}^{b}f(x)dx：
f(x)
=f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)(x-(a+b)/2)+(1/2)f''(u)(x-(a+b)/2)^2
>f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)(x-(a+b)/2)
因此
\int_{a}^{b}f(x)dx
>\int_{a}^{b}(f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)(x-(a+b)/2))dx
=(f((a+b)/2)-((a+b)/2)f'((a+b)/2))(b-a)+f'((a+b)/2)(b^2-a^2)/2
=f((a+b)/2)(b-a)

下面证明后一不等式

a<x≤(a+b)/2时，f(x)=f(a)+f'(u1)(x-a)
(a+b)/2<x<b时，f(x)=f(b)+f'(u2)(x-b)
易知u1<u2
再由f''(x)>0知f'(u1)<f'(u2)
所以
\int_{a}^{b}f(x)dx
=\int_{a}^{(a+b)/2}f(x)dx+\int_{(a+b)/2}^{b}f(x)dx
=\int_{a}^{(a+b)/2}(f(a)+f'(u1)(x-a))dx+\int_{(a+b)/2}^{b}(f(b)+f'(u2)(x-b))dx
<\int_{a}^{(a+b)/2}(f(a)+f'(u2)(x-a))dx+\int_{(a+b)/2}^{b}(f(b)+f'(u2)(x-b))dx
=f(a)(((a+b)/2)-a)+f(b)(b-((a+b)/2))-f'(u2)a(b-a)/2-f'(u2)b(b-a)/2+(1/2)f'(u2)(b^2-a^2)
=(1/2)(f(a)+f(b))(b-a)

done!!!

Answer 2

talor展开易证，左边把f(x)按(a+b）/2展开，右边按a，b分别展开，即可

Answer 3

这个题目打上去够麻烦，给你说个方向，楼主肯定学过凸函数吧，题目中的条件充分说明他是凸函数，凸函数有此性质。查查资料吧，数学分析上好像还是例题呢