Question

如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点．

如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点．
（Ⅰ）求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离．
（Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为抛物线 C1准线的方程为：y=- 1／4，
所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为：|- 1／4-（-3）|= 11／4．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，x02），抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D，
因为：y=x2，所以：y′=2x；
再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD，
∴过点P（x0，x02）的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0．
过点P（x0，x02）的抛物线 C1的切线方程为：y-x02=2x0（x-x0） ①
当 x0=1时，过点P（1，1）且与圆C2相切的切线PA方程为：y-1= 15／8（x-1）．可得xA=- 17／15，xB=1，xD=-1，xA+xB≠2xD．
当x0=-1时，过点P（-1，1）且与圆C2的相切的切线PB的方程为：y-1=- 15／8（x+1）．可得xA=-1，xB= 17／15，xD=1，xA+xB≠2xD．
所以x02-1≠0．设切线PA，PB的斜率为k1，k2，
则：PA：y-x02=k1（x-x0） ②
PB：y-x02=k2（x-x0）．③
将y=-3分别代入①，②，③得 xD=x02-3／2x0（x0≠0）； xA=x0-x02+3／k1； xB=x0-x02+3／k2（k1，k2≠0）
从而 xA+xB=2x0-(x02+3)(1／k1+1／k2)．
又 |-x0k1+x02+3|／√k12+1=1，
即（x02-1）k12-2（x02+3）x0k1+（x02+3）2-1=0，
同理（x02-1）k22-2（x02+3）x0k2+（x02+3）2-1=0，，
所以k1，k2是方程（x02-1）k2-2（x02+3）x0k+（x02+3）2-1=0的两个不等的根，
从而k1+k2= 2(3+x0)2x0／x02-1，k1?k2= (3+x02)2-1／x02-1，，
因为xA+xB=2XD．．
所以2x0-（3+x02）（ 1／k1+1／k2）= x02-3／x0，即 1／k1+1／k2= 1／x0．
从而 2(3+x02)x0／(x02+3)2-1=1／x0，
进而得x0?=8， x0=±⁴√84．
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（ ±⁴√84，2 √2）．