Question

已知点P是直线y=x-2上的动点,过P做抛物线C:x^2=2y的两条切线,且切点为A、B，,则△PAB的面积的最小值为____

Answer 1

设P(x0,y0),则x0-y0-2=0.设直线PA.PB的斜率分别为k1.k2,方程分别为y=k1x+b1.y=k2x+b2.
联立y=kx+b和x²=2y,得x²-2kx-2b=0,由直线PA.PB为抛物线的切线，得Δ=(2k)²+8b=0,即b=-k²/2.代入原方程，得x=k.故直线PA.PB分别为y=k1x-k1²/2和y=k2x-k2²/2,且A(k1,k1²/2),B(k2,k2²/2).
又直线PA.PB过P点，故k1,k2满足方程y0=x0-2=kx0-k²/2，整理得k²-2x0k+2x0-4=0.
由韦达定理，得k1+k2=2x0,k1k2=2x0-4.由A(k1,k1²/2),B(k2,k2²/2)可求出直线AB的方程为
y=[(k1+k2)/2]x-(k1k2)/2.故点P到直线AB的距离为d=|x0²-y0-x0+2|/√(1+x0²)=|x0²-2x0+4|/√(1+x0²).
又AB的长度为|AB|=√[(k1-k2)²+(k1²/2-k2²/2)²]=2√(x0²-2x0+4)(1+x0²).从而ΔPAB的面积
S=|AB||d|/2=x0²-2x0+4=(x0-1)²+3≥3,当且仅当x0=1时取等号.故△PAB的面积的最小值为3.

追问

可是答案里没有3
A. 2√2 B. 3√3 C. 2√3 D. 3√2
就在这四个里面选一个。谢谢(*^__^*)

追答

抱歉，最后一行改为：
S=|AB||d|/2=(x0²-2x0+4)的3/2次方=[(x0-1)²+3]的3/2次方≥3√3,当且仅当x0=1时取等号.故△PAB的面积的最小值为3√3.选B.