Question

已知函数f(x)是定义在r上的奇函数f(1)= 0,{xf'x-fx}\x2>0(x>0)则不等式x2fx>0的解

Answer 1

因为{ x f '(x)-f(x) } /x2>0 (x>0),而且x2>0,所以 x>0时,x f '(x)-f(x)>0,所以f '(x) > f(x)/x .而且f(x)在x>0时连续可导.
因为f(1)=0,所以f '(1) > f(1)/1=0.即f(x)在1值处单调增加.
因为x=0不是最后那么不等式的解,而x不等于0时,x2>0,所以实际求的不等式就是f(x)>0.
因为f(x)是个奇函数,所以正负对称,我们可以先求x>0时的情况.
接下来分两种情况讨论.
情况1
若存在 p,00.对这段区间上任意的值q,有
f '(q) < 0 f(q)/q,与上面得到的f '(x) > f(x)/x 矛盾.所以在（0,1）区间里,函数值f(x)0.
这时若在（m,正无穷）这一段上存在一个n值,使得f(n)0.对这段区间上任意的值q,有f '(q) < 0 f(q)/q,与上面得到的f '(x) > f(x)/x 矛盾.所以在（m,正无穷）的区间里,函数值f(x)>0.于是在（1,正无穷）这一段上,f(x)>0.
综合一下：
在（0,1）上,f(x)0；
由于是奇函数,f(0)=0；
由奇函数的对称性质,可知：
在（负无穷,0）上,只有（-1,0）这一段f(x)>0.
所以结果是（-1,0）和（1,正无穷）.