Question

求助一个数学问题，非常感谢

点P到图形C上每一个点的距离的最小值被称为点P到图形C的距离，求证平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点轨迹不可能是直线

Answer 1

这个很简单哟，
以圆C中，圆心C坐标为(0,0),半径为r,A点为（a,b)，到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点坐标为（x,y)；
则根号（x^2+y^2)-r=根号（（x-a)^2+(y-b)^2)）
化简得：
4x^2+4y^2=4a^2X^2+4b^2y2+8abxy-4t(ax+by)+t^2 (式中,t=r^2+a^2+b^2,为常数)
要使以上为线性,必须:
4=4a^2 且 4=4b^2 且8ab=0
即a=1,-1: b=1,-1 且a=0(或b=0)
这是不可能的.
所以4x^2+4y^2=4a^2X^2+4b^2y2+8abxy-4t(ax+by)+t^2 不可能是直线.

Answer 2

以定圆C圆心作为原点建立平面直角坐标系
设定圆C为x²+y²=r² —— #
定点A为（a，b）
到两者距离相等的点则为（w，u）
w=（a+x）/2 ——@
u=（b+y）/2 ——&
把式子@&代入#
得
（2w-a）²+(2u-b) ²= r ²
所以轨迹不为直线
进一步
若 a=b=0 即定点A和定圆C圆心重合 则轨迹为以原点为圆心半径为r/2的圆
若 a不等于0 且 b不等于0 则轨迹为椭圆