Question

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC与点F，点E为弧CF的中点

已知三角形ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆叫AC于F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于M,AD为△ABC的角平分线。且AD⊥BE，垂足为点H (1)求证：AB是半圆O的切线 （2）若AB=3，BC=4，求BE的长
求各位了！真的不会做！

Answer 1

(1)连接ce,则∠e=90°
∵弧ce=弧ef,∴∠ecf=∠cbe
∵ah⊥bm,ah平分∠bam,∴△abm是等腰三角形
∴∠abe=∠amb=∠cme=90°-∠ecf=90°-∠cbe
即∠abe+∠cbe=∠abc=90°,∴ab是切线
(2)∵∠bah+∠abh=90°,∠abh+∠cbe=90°
∴∠bah=∠cbe,∴cos∠bah=cos∠cbe,即ab/ad=be/bc
∴be=ab*bc/ad=12/ad
角平分线定理得bd/cd=ab/ac=3/5,解得bd=3/2
∴ad=3√5/2,∴be=8/√5

Answer 2

1、证明：连接CE
∵直径BC
∴∠BEC＝90
∴∠ACE+∠CME＝90
∵AD⊥BE
∴∠CAD+∠AMB＝90
∵∠CME＝∠ANB
∴∠ACE＝∠CAD
∵∠ACE、∠FBE所对应圆弧都为劣弧EF
∴∠ACE＝∠FBE
∴∠FBE＝∠CAD
∵E为弧CF的中点
∴弧EF＝弧CE
∴∠FBE＝∠CBE
∴∠CBE＝∠CAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠CBE＝∠BAD
∵AD⊥BE
∴∠BAD+∠ABE＝90
∴∠CBE+∠ABE＝90
∴AB⊥BC
∴AB是圆O的切线
2、解
∵AB⊥BC，AB＝3,BC＝4
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（9+16）＝5
∵AD平分∠BAC
∴AB/BD＝AC/CD
∴AB/BD＝AC/（BC-BD）
∴3/BD＝5/（4-BD）
∴BD＝3/2
∴AD＝√（AB²+BD²）＝√（9+9/4）＝3√5/2
∵∠CBE＝∠BAD，AB⊥BC，∠BEC＝90
∴△ABD相似于△BEC
∴BE/BC＝AB/AD
∴BE/4＝3/（3√5/2）
∴BE＝8√5/5

Answer 3

1、连接BF、C
∵BC是直径
∴∠BEC=∠BFM=90°
∵E是弧CF的中点
∴弧EF=弧EC
∴∠FBE=∠EBC
∴△BFM∽△BEC
∴∠BCE=∠FMB=∠AMH
∵AD⊥BE即∠AHB=∠AHM=90°
AD平分∠BAC即∠BAH=∠MAH
AH=AH
∴△ABH≌△AMH(ASA)
∴∠ABE(∠ABH)=∠AMH=∠BCE
∵∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ABE+∠CBE=90°
即∠ABC=90°
∴AB是半圆O的切线
2、∵△ABC是直角三角形
∴AC=√(BC²+AB²)=5
∵∠ABC=90°，BF⊥AC(∠BFA=∠BFC=90°
∴根据射影定理：AB²=AF×AC，AF=3²/5=9/5
BF²=AF×CF=9/5×(5-9/5)=9/5×16/5
BF=12/5
∵△ABH≌△AMH（前面证明了）
∴AM=AB=3
∴MF=3-AF=6/5
∴在Rt△BFM中
BM=√（BF²+MF²)=√(12/5)²+(6/5)²=6√5/5
∵△BFM∽△BEC
∴BF/BE=BM/BC
BE=BF×BC/BM=(12/5)×4/(6√5/5)=8√5/5

Answer 4

等量代换和为90度就出来了