Question

如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC与点F，点E为弧CF的中点

已知三角形ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆叫AC于F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于M,AD为△ABC的角平分线。且AD⊥BE，垂足为点H (1)求证：AB是半圆O的切线 （2）若AB=3，BC=4，求BE的长
求各位了！真的不会做！

Answer 1

1、证明：连接CE
∵直径BC
∴∠BEC＝90
∴∠ACE+∠CME＝90
∵AD⊥BE
∴∠CAD+∠AMB＝90
∵∠CME＝∠ANB
∴∠ACE＝∠CAD
∵∠ACE、∠FBE所对应圆弧都为劣弧EF
∴∠ACE＝∠FBE
∴∠FBE＝∠CAD
∵E为弧CF的中点
∴弧EF＝弧CE
∴∠FBE＝∠CBE
∴∠CBE＝∠CAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠CBE＝∠BAD
∵AD⊥BE
∴∠BAD+∠ABE＝90
∴∠CBE+∠ABE＝90
∴AB⊥BC
∴AB是圆O的切线
2、解
∵AB⊥BC，AB＝3,BC＝4
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（9+16）＝5
∵AD平分∠BAC
∴AB/BD＝AC/CD
∴AB/BD＝AC/（BC-BD）
∴3/BD＝5/（4-BD）
∴BD＝3/2
∴AD＝√（AB²+BD²）＝√（9+9/4）＝3√5/2
∵∠CBE＝∠BAD，AB⊥BC，∠BEC＝90
∴△ABD相似于△BEC
∴BE/BC＝AB/AD
∴BE/4＝3/（3√5/2）
∴BE＝8√5/5

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Answer 2

1、证明：连接CE
∵直径BC
∴∠BEC＝90
∴∠ACE+∠CME＝90
∵AD⊥BE
∴∠CAD+∠AMB＝90
∵∠CME＝∠ANB
∴∠ACE＝∠CAD
∵∠ACE、∠FBE所对应圆弧都为劣弧EF
∴∠ACE＝∠FBE
∴∠FBE＝∠CAD
∵E为弧CF的中点
∴弧EF＝弧CE
∴∠FBE＝∠CBE
∴∠CBE＝∠CAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠CBE＝∠BAD
∵AD⊥BE
∴∠BAD+∠ABE＝90
∴∠CBE+∠ABE＝90
∴AB⊥BC
∴AB是圆O的切线
2、解
∵AB⊥BC，AB＝3,BC＝4
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（9+16）＝5
∵AD平分∠BAC
∴AB/BD＝AC/CD
∴AB/BD＝AC/（BC-BD）
∴3/BD＝5/（4-BD）
∴BD＝3/2
∴AD＝√（AB²+BD²）＝√（9+9/4）＝3√5/2
∵∠CBE＝∠BAD，AB⊥BC，∠BEC＝90
∴△ABD相似于△BEC
∴BE/BC＝AB/AD
∴BE/4＝3/（3√5/2）
∴BE＝8√5/5

Answer 3

1）因 BC为直径 ，故BD⊥CD，又AF⊥EC ，故∠BAF=∠DCE
因点E为弧BD的中点，即∠DCE=∠BCE ，即∠BCD=2∠DCE ，又AF为∠BAC的平分线 ，
即∠BAC=2∠BAF，故∠BCD=∠BAC ，又∠ABC为公共角 ，故△BCD∽△ABC
即∠ACB=90度 ，即AC与圆O相切
2）AC=6，BC=8，则AB=10 ，因.AF为∠BAC的平分线, 即FC/BF=AC/AB=3/5，即FC=3/8 BC=3
于是 在RT△AFC中 AF=3√5 ，
又RT△BCF∽ RT△AFC ，于是 EC= BC*AC/AF=8*6/3√5 = 16√5 /5≈7.155

Answer 4

1、证明：连接CE
∵直径BC
∴∠BEC＝90
∴∠ACE+∠CME＝90
∵AD⊥BE
∴∠CAD+∠AMB＝90
∵∠CME＝∠ANB
∴∠ACE＝∠CAD
∵∠ACE、∠FBE所对应圆弧都为劣弧EF
∴∠ACE＝∠FBE
∴∠FBE＝∠CAD
∵E为弧CF的中点
∴弧EF＝弧CE
∴∠FBE＝∠CBE
∴∠CBE＝∠CAD
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠BAD
∴∠CBE＝∠BAD
∵AD⊥BE
∴∠BAD+∠ABE＝90
∴∠CBE+∠ABE＝90
∴AB⊥BC
∴AB是圆O的切线