Question

若函数f(x)=4x/(x^2+1)在区间（m,2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是

没有学求导，有别的方法吗

Answer 1

解：f(-x)=-f(x)，f(x)在R上为奇函数，故只需考查x≥0时的单调性。
当x>0时，f(x)=4x/(x^2+1)=4/(x+1/x)=4/[(√x-1/√x)^2+2]
显然，当x>1时，√x>1/√x，分母大于0且随着x的增大而增大，故f(x)单调减小；
当0<x≤1时，f(x)=4x/(x^2+1)=4/(x+1/x)=4/[(1/√x-√x)^2+2]，1/√x≥√x，分母大于0且随着x的增大而减小，故f(x)单调递增。
当x=0时，f(x)=0。故f(x)在[0,1]上单调递增。
考虑奇函数的对称性，在R+上的递增区间，对应的R-上的区间也仍为递增区间。故f(x)在[-1,0]上也单调递增。
于是函数f(x)的单调递增区间为[-1,1]
而区间（m,2m+1）上是单调递增函数，故只需
-1≤m≤1
-1≤2m+1≤1
m<2m+1
解得-1<m≤0

Answer 2

f(x)显然为奇函数
由不等式 2|ab|<=a^2+b^2, , 当a=b,或a=-b时取等号
得： -2=<4x/(x^2+1)<=2,
当x=-1时，f(x)有最小值-2,
当x=1时，f(x)有最大值2
这样增区间为(-1,1),
因此有: -1=<m<2m+1<=1
解得：-1<m<=0

Answer 3

m<2m+1 得 m>-1,所以若x>0时，f(x)>0,设g(x)=1/f(x),f(x)为增函数时，g(x)为减函数,
g(x)=1/4(x+1/x),其减区间为（0,1],m>=0且2m+1<=1,得m=0
x<0时，f(x)<0,设g(x)=1/f(x),f(x)为增函数时，g(x)为增函数,
g(x)=1/4(x+1/x),其增区间为（-无穷,-1],得2m+1<=-1,与m>-1矛盾舍去，所以m=0
貌似过程没什么问题，如果用求导就简单多了，希望对你有帮助