Question

21、二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1

21、二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）试求a，b所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）分别带入A、B点坐标！可直接得出c=1，a+b=-1
（2）虽然么有图，一样可以做！因为二次函数，所以a不等于0；设a小于0，则抛物线开口向下，通过图形知道AMC与ABC的底边同为AC,所以只是他们的高决定三角形的面积！所以面积比是就是高的比值！我们知道二次抛物线顶点坐标（b/-2a，4ac-b2/4a），而三角形abc高为1，则4ac-b2/4a=5/4，又a+b=-1，且a小于0，求解，a=-3±根号5/2，又因为定点在第二象限，b/-2a小于0，a小于0，则b＜0，所以-1＜a＜0，所以a=-3+根号5/2假设正确开口向下！
（3）向量法设c点（α，0）则AC向量*AB向量=0，α=-1，则顶点M在y轴上，与原题不符！没有！

Answer 2

（1）解：设a，b满足的函数解析式为y＝ax²＋bx＋c
把A，B的坐标代入的 0＝a＋b＋c c＝1∴a，b所满足的关系式中a＋b＝﹣1
（2）设M的坐标为（M，N）∵点C是关于直线x＝M点A对称的 ∴AC＝2（x＋1）
∵S△ABC× 5/4＝S△AMC ∴（2x＋2）× 5/4＝2（x＋1）y 解得y＝5/4
∵M为抛物线顶点∴（4ac－b²）/4a＝5/4 即（4a－b²）/4a＝5/4
化简得a＋b²＝0 把b＝﹣a－1代入解得a1＝ （﹣3＋根号5）/2 a2＝（﹣3－根号5）/2
又∵a＜0 ∴a＝（﹣3＋根号5）/2
（3）不存在；由图可知∩BCA，∩CAB不可能为直角，只有当∩CBA为直角时假设才成立

Answer 3