Question

如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系，请你说明5种关系

Answer 1

图1：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；
图3：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠A=∠1，又由三角形外角的性质，即可求得答案；
图4：由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A=∠1，又由三角形外角的性质，即可求得答案．解答：解：图1：∠APC=∠PAB+∠PCD．
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD（平行线的传递性），
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即∠APC=∠PAB+∠PCD；
图2：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
理由：过点P作PE∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD（平行线的传递性），
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

图3：∠APC=∠PCD-∠PAB．
理由：延长DC交AP于点E．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠PAB（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠PCD=∠1+∠APC，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB；

图4：∴∠PAB=∠APC+∠PCD．
理由：∵AB∥BC，

∴∠1=∠PAB（两直线平行，内错角相等）；
又∵∠1=∠APC+∠PCD，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD．点评：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．

Answer 2

（法一）
如图1所示，过P点做EF∥AB，
则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等）
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，（平行线的传递性）
∴∠PCD=∠EPC
∴∠APC=∠PAB+∠PCD
（法二）
延长CP交AB于点H，
则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等）
则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法三）
如图3所示：连接AC，
则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°）
又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）
法四）
如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点，
∠APC=∠EPD，（对顶角相等）
∵AB∥CD
∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等）
则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质）
=∠PAB+∠PCD（等量代换）
则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换）
（法五）
如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F，
则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补）
由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°）
∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°）
∵∠AEP=90°，∠PFC=90°
∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180°
又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180°
∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）

Answer 3

对？你确定？