Question

概率论问题：（好答案追加分！！！） 方程x^2+Yx+Z=0的两个根相互独立，且均服从从[-1，1]上的均匀分布。

试求Y，Z的密度函数。

Answer 1

很简单啊。
设方程x^2+Yx+Z=0 的两个根分别为x1和x2（两根独立就说明x1不可能等于x2），那么从根与系数的关系就得到：x1 + x2 = -Y, x1x2 = Z
设随机变量Y的分布函数为F，Z的分布函数为G，则
F(y) = Pr (Y<=y) (Pr是概率的意思)
= Pr (x1 + x2 >= -y ) （这里有个负号）
= 二重积分（D）p(x1, x2) dx1dx2
其中p(x1, x2)是x1,x2的联合密度函数，由于x1和x2相互独立，所以
p(x1, x2) = p(x1)p(x2) = 1/2*1/2 = 1/4。需要注意的是这里的积分区域D，你画图就可以看到，它是随y不断变化的。（首先画出[-1,1]×[-1,1]这个正方形区域，然后画一条斜率为-1的直线，它与x轴以及y轴的截距就是-y，随着-y从负无穷开始不断变大，直线就在不断上移，而积分的区域就是在这个正方形内位于直线x1 + x2 = -y上方的点的集合）
这样一来，
当 -y <= -2，或y >=2 时，D = 正方形， F(y) = 1；
当 -y > 2，或y<-2时，D为空集，F(y) = 0；
当 -2 < -y <= 0，或 0 <= y <2 时，D = 正方形减去直线下方与正方形围城的三角形。
此时三角形面积为(2-y)^2/2，F(y) = 1/4 S(D) = 1/4 * (4-(2-y)^2/2)；
当 0 < -y <= 2，或 -2 <= y < 0时，此时D = 直线上方与正方形围城的三角形，三角形面积为(2+y)^2/2，F(y) = 1/4 S(D) = 1/4 * (2+y)^2/2；
所以，分布函数最后划分为4段：
F(y) =
0, y < -2；
1/4 * (2+y)^2/2， -2 <= y < 0；
1/4 * (4-(2-y)^2/2)， 0 <= y <= 2；
1，y >2.
从而密度函数f(y)=
(2+y)/4，-2 < y < 0；
(2-y)/4，0 <= y < 2；
0，其他地方。

Z的分布函数G(z) = Pr (Z <= z)
= Pr (x1x2 <= z)
= 二重积分（D）p(x1, x2) dx1dx2
这里，区域D是正方形[-1,1]×[-1,1]与双曲线 x1x2=z 的围成的面积。如果z>0，那么D就是正方形与两条双曲线所夹中间区域围成的面积：
当z>1时，区域D为正方形，G(z) = 1；
当0<z<=1时，区域D的面积S(D) = 正方形面积 - 对称的两部分（称为S1），
S1 = 定积分 （x2 从z到1）[ 1 - z/x2 ] dx2 = 1-z + zln(z)；
所以G(z) = 1/4 * [4 - 2(1-z+zlnz)]；
当z<0时，区域D是两条双曲线外侧与正方形的交集部分，所以
当z<-1时，区域D为空集，G(z) = 0；
当-1<=z<0时，区域D就是上面说的外侧与正方形的交集，所以
S(D) = 2S1' = 2 定积分 （x2从-z到1）[ 1 - z/x2 ] dx2 = 2[1+z + zln(-z)]；
所以G(z) = [1-z+zln(-z)]/2；
一个需要特别注意的情况是当z=0的概率。当z=0时，
G(0) = Pr (x1x2 <= 0)
= Pr (x1x2 < 0) (等于0的点组成的是零测集，概率为零)
= Pr (x1<0,x2>0) + Pr (x1>0,x2<0)
= 1/2.
综上，分布函数G(z)分为五段（注意到该函数在z=0是连续的）：
G(z) = 0, z < -1；
[1 - z + zln(-z) ]/2， -1<=z<0；
1/2, z = 0；
1/4 * [4 - 2(1-z+zlnz)]，0<z<=1；
1，z>1.
密度函数是对分布函数求导：
g(z) = ln(-z) / 2，-1<=z<0；
- ln(z) / 2, 0<z<1；
0，其他地方，z不为零.
注意g(z)在z=0处是不可导的，因为
lim (z从0左边趋于0) [G(z) - G(0)]/z
= lim (z从0左边趋于0) { [1 - z + zln(-z) ]/2 - 1/2 }/z
= lim (z从0左边趋于0) [ -1 + ln (-z) ] = 负无穷。左导数不存在，导数就不存在（右导数是正无穷大的，可以验证）。因此密度函数g就是上面的形式。

想要得到完整的答案就按照上面的做，没有捷径可走。

Answer 2

设ξ1，ξ2分别是方程的两个根，
则他们都服从[-1，1]上的均匀分布，且相互独立
Y=-（ξ1+ξ2）
Z=ξ1ξ2
分别求上面两个随机变量的分布密度，计算量很大，这里表述也不方便，你可以参看相应教材上随机变量的和与积的分布的计算方法，得到结果。