Question

设数列a1，a2，a3...,an,...中的每一项都不为0。证明：{an}为等差数列的充分

问题内容在百度怎么也发不上来，只能在这里

http://wenwen.soso.com/z/q354968126.htm

Answer 1

摘下来的：邦你分析下，不明白可以追问：
先证必要性（如果是等差，则...）；（所以可以）设数列an的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则==．再用数学归纳法证明
充分性：
所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式①---------------取n=3
两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，
所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d．-------这个公差暂时只是a1 a2 a3的
假设ak=a1+（k-1）d，-----这个假设是指等差规律已进行到了k,　即a1 a2 a3 a4 ...ak是公差为d的等差数列，但ak+1还需要证明；下一步就是要证明ak+1 =a1+kd，从而证明等差规律可以更推进一步到k+1的位置。

当n=k+1时，观察如下二等式：②，
=将②代入③得，
在该式两端同时乘a1akak+1，得（k-1）ak+1+a1=kak，
把ak=a1+（k-1）d代入后，整理得ak+1=a1+kd．------好了。假设等差规律到k成立，则等差规律到k+1也是成立的。依此归纳，原题结论得证。
由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有++…+=．
所以，{an}是公差为d的等差数列．