Question

证明这个常用不等式

x,y是正数，求证 ((x+y)/2)^n 小于等于 (x^n+y^n)/2

求思路
急求啊

Answer 1

用均值为等式：a1^n+a2^n+...+an^n≥n•a1a2...an
令 A=(x+y)/2，由基本不等式，得
x^n/A^n +1+1+...+1≥n•x/A （注：共n-1个1）
y^n/A^n +1+1+...+1≥n•y/A
两式相加，得 (x^n+y^n)/A^n +2n-2 ≥2n
即 (x^n+y^n)/A^n ≥2
(x^n+y^n)/2 ≥[(x+y)/2]^n

追问

为什么要加(n-1)个1？？？还有那个第一个a1^n+a2^n+...+an^n≥n•a1a2...an怎么证？

追答

加n-1个 1，和x^n/A^n 构成n个正数，从而用基本不等式。