Question

已知数列【an】满足a1=5,a2=5,a(n+1)=an+6a(n-1)(n>=2)。(1)求证【a(n+1)+2an】是等比数列

(2)求证:【an-3^n】是等比数列并求数列【an】的通项公式

Answer 1

教个通法a(n+1)=an+6a(n-1) 则a(n+2)-a(n+1)-6a(n)=0
解一元二次方程x^2-x-6=0 得到x1=3 x2=-2
所以a(n)=c1x1^n+c2x2^n=c13^n+c2(-2)^n
代入初值有c1=1c2=-1
∴a(n+1)+2an=5*3^n
∴an-3^n=-(-2)^n
an=3^n-(-2)^n完美

Answer 2

1,在a(n+1)=an+6a(n-1)的等于号两边同时加上2an，化简计算得【a(n+1)+2an】是等比数列2，令n=2得a3=a2+6a1=5+30=35,令bn=an-3^n,b1=2，b2=-4,b3=8,依次类推利用数学归纳法得到bn为等比数列，bn=2*(-2)^n,an=bn+3^n

Answer 3

1）既然要证明an+1+2an是等比数列，依据等比数列的性质，则应当有an+1 + 2an=q(an + 2an-1)
由已知条件，an+1 = an + 6an-1，等价于an+1 + 2an = 3an + 6an-1 = 3(an + 2an-1)，所以
an+1 + 2an是q=3的等比数列

Answer 4

∵a(n+1)=an+6a(n-1)∴[a(n+1)+2an]＋[an+6a(n-1)]＝3 ∴a(n+1)+2an ＝5×3^n ∴a(n+1)－3^(n＋1)＋2(an－3^n)＝0∴[a(n+1)－3^(n＋1)]/(an－3^n)＝﹣2∴an－3^n＝2×(﹣2)^(n－1)∴an＝3^n－2^n