Question

2010随州数学中考25题

25、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y=54作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点F(1，34)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．第（3）题求详解

Answer 1

（1）由于拆此兆抛物线过原点所以c=0，
把（1,1）扒察代人顶点坐标(-b/2a,（4ac-b*b)/4a）中，结合抛物线开口方向解得a=-1，b=2
（2）因为三角形PFM是等腰三角形，则PF=MF，则F点的纵坐标是M点和P点纵坐标的一半，即P点纵坐标y=1/4，又因为P点在抛物线上，代人方程旅租中解得x=1+二分之根号3，则P（1+二分之根号3，1/4），根据两点坐标公式求出
PM=5/4-1/4=1，FP=1
所以是正三角形。
（3）假设存在。
PN=根号{（x-1）*（x-1）+（y-t）*（y-t）}=1
与y=-x*x+2x联立求得t=0即t（1，0）满足条件。