Question

2010随州中考数学

25、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y=54作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点F(1，34)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

Answer 1

1、过原点，则c=0
(1,1)为顶点，则有-b/(2a)=1, 将（1,1）代入y=ax^2+bx得a+b=1
联立求解，a=-1，b=2
y=-x^2+2x

2、P（x,y），由于PM垂直于y=5/4，所以M坐标为（x,5/4），又F（1,3/4）
根据两点距离公式，
MF^2=(x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+1/4
PF^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2

又y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1,故 (x-1)^2=1-y
所以MF^2=5/4-y, PF^2=(y-3/4)^2+1-y
根据题意有MF=PF，则5/4-y=(y-3/4)^2+1-y，得y1=5/4,y2=1/4 (由于顶点（1,1），故y=5/4不可能在抛物线上，舍弃)
分别将y=1/4代入抛物线方程，得P点坐标为（(根号3)/2, 1/4）（-(根号3)/2, 1/4）

证明：将y代入MF^2=5/4-1得MF=1，故PF=1
又PM=|y-5/4|=1, 所以PM=MF=PF,即等边三角形

3、由题意，PM^2=(y-5/4)^2, PN^2=(x-1)^2+(y-t)^2=1-y+(y-t)^2 【注，y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1】
由PM=PN，得(y-5/4)^2=1-y+(y-t)^2
即y^2-5/2*y+25/16=y^2-(2t+1)y+t^2+1
化简得2（t-3/4）y=t^2-9/16=(t+3/4)(t-3/4)

2（t-3/4）y=(t+3/4)(t-3/4)恒等的条件是t-3/4=0,即t=3/4

Answer 2

答案如下
1、过原点，则c=0
(1,1)为顶点，则有-b/(2a)=1, 将（1,1）代入y=ax^2+bx得a+b=1
联立求解，a=-1，b=2
y=-x^2+2x

2、P（x,y），由于PM垂直于y=5/4，所以M坐标为（x,5/4），又F（1,3/4）
根据两点距离公式，
MF^2=(x-1)^2+(5/4-3/4)^2=(x-1)^2+1/4
PF^2=(x-1)^2+(y-3/4)^2

又y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1,故 (x-1)^2=1-y
所以MF^2=5/4-y, PF^2=(y-3/4)^2+1-y
根据题意有MF=PF，则5/4-y=(y-3/4)^2+1-y，得y1=5/4,y2=1/4 (由于顶点（1,1），故y=5/4不可能在抛物线上，舍弃)
分别将y=1/4代入抛物线方程，得P点坐标为（(根号3)/2, 1/4）（-(根号3)/2, 1/4）

证明：将y代入MF^2=5/4-1得MF=1，故PF=1
又PM=|y-5/4|=1, 所以PM=MF=PF,即等边三角形

3、由题意，PM^2=(y-5/4)^2, PN^2=(x-1)^2+(y-t)^2=1-y+(y-t)^2 【注，y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1】
由PM=PN，得(y-5/4)^2=1-y+(y-t)^2
即y^2-5/2*y+25/16=y^2-(2t+1)y+t^2+1
化简得2（t-3/4）y=t^2-9/16=(t+3/4)(t-3/4)

2（t-3/4）y=(t+3/4)(t-3/4)恒等的条件是t-3/4=0,即t=3/4
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