Question

已知抛物线y2=4x,直l过定点(-2,1),斜率为k，当k为何值时，直l与抛物线只有一个公共点？两个公共点？没共点

Answer 1

直线方程为 y=k(x+2)+1，
所以 4y=k(4x+8)+4=k(y^2+8)+4 ，
化简得 ky^2-4y+(8k+4)=0 。 （*）
1）当直线与抛物线只有一个公共点时，方程（*）只有唯一实根，
因此 k=0 ，或 k≠0 且 Δ=16-4k(8k+4)=0 ，
解得 k=0 或 k=1/2 或 k=-1 。
2）当直线与抛物线有两个不同公共点时，方程（*）有两个不同实根，
因此 k≠0 且 Δ=16-4k(8k+4)>0 ，
解得 -1<k<0 或 0<k<1/2 。
3）当直线与抛物线没有公共点时，方程（*）无实根，
因此 k≠0 且 Δ=16-4k(8k+4)<0 ，
解得 k<-1 或 k>1/2 。

Answer 2

很显然此定点在抛物线外。
只有一个公共点有两种情况：相切或L与X轴平行。若相切，联结L的方程与抛物线的方程得：K=1/2或-1；若平行，则K=0。所以K=0或-1或1/2。
有两个公共点：-1<K<1/2且K不等于0
没有公共点：K<-1或K>1/2
注：这道题设X=kY-k-2比较方便，算出K之后取其倒数便是真正的K。