已知椭圆C以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,且与直线y=2x+3有公共点。求椭圆C的方程,使其离心率取得最大值
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椭圆C以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,所以半焦距c=1;离心率e=c/a要最大,就是a最小;
即2a最小;设椭圆与直线的交点为P,则2a=|PF1|+|PF2|;
所以求2a的最小值就是在直线y=2x+3上求一点P,使它到F1,F2两点的距离之和最小;
这种最值就需要找对称点来解:设F1(-1,0)关于y=2x+3的对称点为Q(m,n);
则n/(m+1)=-1/2..........m=-1-2n;
n/2=2×(m-1)/2+3..........n=2m+4
解得:m=-9/5,n=2/5; 所以Q(-9/5,2/5)
那么2a=|PF1|+|PF2>=|QF2|=√[(-9/5-1)^2+(2/5)^2]=2√2
则离心率最大的椭圆C的方程为x^2/2+y^2=1
即2a最小;设椭圆与直线的交点为P,则2a=|PF1|+|PF2|;
所以求2a的最小值就是在直线y=2x+3上求一点P,使它到F1,F2两点的距离之和最小;
这种最值就需要找对称点来解:设F1(-1,0)关于y=2x+3的对称点为Q(m,n);
则n/(m+1)=-1/2..........m=-1-2n;
n/2=2×(m-1)/2+3..........n=2m+4
解得:m=-9/5,n=2/5; 所以Q(-9/5,2/5)
那么2a=|PF1|+|PF2>=|QF2|=√[(-9/5-1)^2+(2/5)^2]=2√2
则离心率最大的椭圆C的方程为x^2/2+y^2=1
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由题意知,c=1,a平方-b平方=1,故可设椭圆的方程为 x平方/b平方+1+y平方/b平方=1,
离心率的平方为 1/b平方+1 ①,∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得(2b平方+1)x平方+6(b平方+1)x+8b平方+9-b四次方=0
b4-3b2-4≥0,b平方≥4,或 b平方≤-1 (舍去),b平方的最小值为4,
①的最大值为 1/5,此时,a平方=b平方+1=5,
离心率最大的椭圆方程是 x平方/5+y平方/4=1,
离心率的平方为 1/b平方+1 ①,∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得(2b平方+1)x平方+6(b平方+1)x+8b平方+9-b四次方=0
b4-3b2-4≥0,b平方≥4,或 b平方≤-1 (舍去),b平方的最小值为4,
①的最大值为 1/5,此时,a平方=b平方+1=5,
离心率最大的椭圆方程是 x平方/5+y平方/4=1,
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