Question

已知椭圆C以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点，且与直线y=2x+3有公共点。求椭圆C的方程，使其离心率取得最大值

Answer 1

椭圆C以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点，所以半焦距c=1;离心率e=c/a要最大，就是a最小；
即2a最小；设椭圆与直线的交点为P，则2a=|PF1|+|PF2|；
所以求2a的最小值就是在直线y=2x+3上求一点P，使它到F1,F2两点的距离之和最小；
这种最值就需要找对称点来解：设F1(-1,0)关于y=2x+3的对称点为Q(m,n);
则n/(m+1)=-1/2..........m=-1-2n;
n/2=2×(m-1)/2+3..........n=2m+4
解得：m=-9/5,n=2/5; 所以Q(-9/5,2/5)
那么2a=|PF1|+|PF2>=|QF2|=√[(-9/5-1)^2+(2/5)^2]=2√2
则离心率最大的椭圆C的方程为x^2/2+y^2=1

Answer 2

由题意知，c=1，a平方-b平方=1，故可设椭圆的方程为 x平方/b平方+1+y平方/b平方=1，
离心率的平方为 1/b平方+1 ①，∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得（2b平方+1）x平方+6（b平方+1）x+8b平方+9-b四次方=0
b4-3b2-4≥0，b平方≥4，或 b平方≤-1 （舍去），b平方的最小值为4，
①的最大值为 1/5，此时，a平方=b平方+1=5，
离心率最大的椭圆方程是 x平方/5+y平方/4=1，