Question

在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．

Answer 1

解：（1）四边形OKPA是正方形．
证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形OKPA是正方形．（2分）

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为23x．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半径）．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=23x．
sin∠PBG=PGPB，即32=23xx．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG=3，PA=BC=2．（4分）
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，3），B（1，0）C（3，0）．（6分）

Answer 2

连接BP，做PM垂直BC于M
PB=a=AP
BM=a/2
PM=根号3a/2
根号3a/2=2根号3/a
a=2
A（0，根号3） B（1，0） C（3，0)

Answer 3

解：设P点的坐标为（a,b）因为四边形ABCP为菱形，且⊙P运动到与x轴相交。那么PA=PB=PC=a 则A(0，√3/2) B（a/2,0）C(3/2*a,0)