Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=12，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，AB 是⊙O'的直径，所以：∠CAD=∠CAB
（2）①tan∠CAD=1/2，所以tan∠CAB=1/2，tan∠OCB=1/2，则有OA=2OC，OC=2OB，又因为OA+OB=10，解得OA=8，OB=2，OC=4，所以A、B、C三点的坐标分别为（-8，0）、（2，0）、（0，4），代入抛物线的解析式y=ax^2+bx+c，求得a=-1/4，b=-3/2，c=4，抛物线的解析式为y=-x^2/4-3x/2+4。
②抛物线的解析式为y=-x2/4-3x/2+4可化为。y=(-1/4)(x+3)^2/+25/4，所以抛物线的顶点坐标为（-3，25/4），根据（1）的结果可证明三角形ACD与三角形ACO全等，CD=OC=4，AD=AO=8,
设D（x，y），则有(8-x)^2+y^2=64且x^2+(y-4)^2=16，解得x=-16/5，y=32/5。因此CD的解析式可求得为y=-3x/4+4，把x=-3代入，求得y=25/4，所以抛物线的顶点E在直线CD上。
（3）点P的坐标为（-10，-6）或（10，-36）。

Answer 2

（1）角ACD是圆O`的弦切角 故可以退出角ACD=角ABC
AB为直径 可以得到角ACD=90 而AD垂直于CD 故有 角ACD=角ADC
由上可得三角形ABC相似于三角形ACD 从而有 角ACD=角CAB
（2）第1问那个tanACD=12数据正确么？不是1/2? 如果是1/2那么就应该这么做
利用相似三角形就可以算出ABC的坐标，这个估计你会做吧？
第2问可以先求出O`C的解析式，然后利用O`C垂直于CD从而求出CD解析式，，E点坐标由抛物线可以求出来，在就可以判断了
(3)P点存在，两个的，就是过B作平行于AC的直线，这条直线与抛物线交点就是P点

Answer 3

1、AB是直径，则〈ACB=90度，CO^2=|AO|*|OB|,
|CO|=2,
C坐标为（0，2），
2、设解析式为：y=ax^2+bx+c,
x=0,y=2,c=2,
x=-1,y=0,a-b+2=0,
x=4,y=0,16a+4b+2=0,
8a+2b+1=0,
a=-1/2,b=3/2,
解析式为： y=-x^2/2+3x/2+2,
3、CD//X轴，设D坐标为（m,2),
代入二次函数解析式，m=0,m=3,
而m=0就是C点，故取m=3,D点坐标为（3，2），
设BD解析式为y=kx+b,
0=4k+b,
2=3k+b,
k=-2,b=8,
BD解析式：y=-2x+8,
4、若只有一个点使〈NPM为直角，则N、M、P三点在以MN的中点为圆心，以NM为直径的半圆上，且与X轴相切，
设M点坐标为（2n,n),
代入解析式， n=-4n^2/2+3n+2,
n^2-n-1=0,
n=(1±√5）/2，
则M坐标为（1+√5，（1+√5）/2），
（1-√5，（1-√5）/2）。

Answer 4

（１）（２）略（３）ｐ（－１０,－６）或（１０，－３６）