Question

16.对任意θ都有5t^2-(4sinθ-2cosθ)t-3<=0 恒成立，则实数t的取值范围是

Answer 1

解：
5t²-(4sinθ-2cosθ)t-3≤0
5t²-2√5sin(θ+γ)t-3≤0 其中tanγ=-1/2
(1)
t=0时，不等式变为-3≤0，不等式成立，t=0满足题意。
(2)
t>0时，不等式变形：
sin(θ+γ)≥(5t-3/t)/(2√5)
-1≤sin(θ+γ)≤1，要对任意θ，不等式恒成立，(5t-3/t)/(2√5)≤-1
整理，得
5t²+2√5t-3≤0
(√5t-1)(√5t+3)≤0
0<t≤√5/5
(3)
t<0时，不等式变形：
sin(θ+γ)≤(5t-3/t)/(2√5)
-1≤sin(θ+γ)≤1，要对任意θ，不等式恒成立，(5t-3/t)/(2√5)≥1
整理，得
5t²-2√5t-3≤0
(√5t+1)(√5t-3)≤0
-√5/5≤t<0
综上，得-√5/5≤t≤√5/5，t的取值范围为[-√5/5，√5/5]

Answer 2

对任意实数x, 恒有5t²-(4sinx-2cosx)t-3≤0
[1]
当t＜0时，恒有
4sinx-2cosx≤5t-(3/t)
即恒有：5t-(3/t)≥2√5
∴t≤(-√5)/5
[2]
当t=0时，显然成立。
[3]
当t＞0时，恒有
4sinx-2cosx≥5t-(3/t)
即恒有5t-(3/t)≤-2√5
∴t≤(√5)/5
综上可知：
t∈（-∞, -√5/5]∪[0, √5/5]