Question

高数向量证明(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a

Answer 1

以下a,b,c均表示向量。

取一个右手直角坐标系，设：

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)。

由于axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。

所以(axb)xc的第一个坐标为。

(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2。

另一方面，(a·c)·b-(b·c)·a的第一个坐标为：

(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2。因此等式两边的向量的第一个坐标相等，同理可证其他两个坐标也相等，从而等式成立。

相关内容解释

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

Answer 2

以下a,b,c均表示向量。
取一个右手直角坐标系，设
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3).
由于axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以(axb)xc的第一个坐标为
(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2.
另一方面，(a·c)·b-(b·c)·a的第一个坐标为
(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2
因此等式两边的向量的第一个坐标相等，同理可证其他两个坐标也相等，从而等式成立