Question

在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a,b,c，且C=2A,a+c=10,cosA=3/4，求c/a的值？还有b的值是多少？

Answer 1

a/sinA=c/sinC=c/sin2A=c/2sinAcosA
即
a=c/2cosA=c/(3/2)
3a=2c
又
a+c=10
所以
a=4,c=6
c/a=6/4=3/2
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA
16=b²+36-12b×（3/4）
b²-9b+20=0
(b-4)(b-5)=0
即
b=4,或b=5

Answer 2

解：
（1）sinC=sin(2A)=2sinAcosA
sinC/sinA=2cosA=3/2
a/sinA=c/sinC
c/a=sinC/sinA=3/2
c=3a/2
a+c=10
a+3a/2=10
a=4,c=6
a/c=2/3

(2)b^2+c^2-a^2=2bccosA
b^2+36-16=2b*6*3/4
b^2-9b+20=0
(b-4)(b-5)=0
b=4或b=5
但是，如果b=4,那么a=b=4,则三角形为等腰三角形，A=B=（1/2）C
则有A+B+C=4A=180,所以A=B=45,C=90，此时三角形为等腰直角三角形。
但是a^2+b^2=32,c^2=36，a^2+b^2≠c^2,
由勾股定理逆定理知该三角形不是直角三角形，矛盾！
所以
b=4(舍)
b=5

Answer 3

cosC=cos2A=2cos²A-1=1/8
sinA=√7/4
sinC=√63/8=3√7/8
c/a=sinA/sinC=3/2

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=√7/32+9√7/32=10√7/32=5√7/16
根据c/a=3/2，c+a=10.得到a=4
那么a/sinA=b/sinB
解得b=asinB/sinA=5