Question

已知sin(a+b)=1/2、sin(a-b)=1/3求(tan a/tan b)的值．

Answer 1

由sin(a+b)=sina cosb + cosa sinb =1/2
sin(a-b)=sina cosb - cosa sinb =1/3
以上两个式子相加，得 2sina cosb =5/6 ，sina cosb =5/12
两个式子相减，得 2cosa sinb=1/6 ，cosa sinb =1/12
所以tana/tanb =(sina/cosa) / (sinb /cosb) =(sina*cosb)/(cosa*sinb)=(5/12)/(1/12)=5

Answer 2

证明：
⑴
sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝3/5
sin(A－B)＝sinAcosB－sinBcosA＝1/5
两式相加，得：
2sinAcosB＝4/5
sinAcosB＝2/5 ①
则sinBcosA＝1/5 ②
①/②，得：
tanA/tanB＝2
即tanA＝2tanB

⑵
∵△ABC是锐角三角形
∴0＜C＜π/2
又A＋B＝π－C
∴π/2＜A＋B＜π
∵sin(A＋B)＝3/5
∴cos(A＋B)＝－√[1－sin²(A＋B)]＝－4/5
则tan(A＋B)＝sin(A＋B)/cos(A＋B)＝－3/4
即(tanA＋tanB)/(1－tanAtanB)＝－3/4
又tanA＝2tanB
∴3tanB/(1－2tan²B)＝－3/4
即2tan²B－4tanB－1＝0
解得tanB＝(4±2√6)/4
∵0＜B＜π/2
∴tanB＝(4＋2√6)/4＝1＋(√6)/2

Answer 3

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 　
　sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=1/2 1式
　sin(a-b)=sinacosb -cosasinb=1/3 2式
1+2式：2sinacosb=5/6 sinacosb=5/12
1-2式：2cosasinb=1/6 cosasinb=1/12
（1+2式）/ （1-2式 ）： tan a/tan b=5

Answer 4

sinacosb= [sin(a+b)+sin(a-b)]/2=(1/2+1/3)/2=5/12
cosasinb= [sin(a+b)-sin(a-b)]/2=(1/2-1/3)/2=1/12
tana/tanb=sina/cosa/(sinb/cosb)=sinacosb/(cosasinb)=5/12/(1/12)=5