Question

请问这个函数的积分如何计算

√a^2(1-cost)^2+a^2sin^2t dt （除了dt其他都在根号下）的不定积分如何计算？请写出推算过程。

Answer 1

∫ √a²(1-cost)²+a²sin²t dt
=a ∫√ (1-cost)²+sin²t dt
而(1-cost)²+sin²t
=1-2cost+cos²t+sin²t
=2-2cost
注意有公式1-cos2x=2sin²x
所以2-2cost=4sin²(t/2)
于是
原积分=a* ∫√ (1-cost)²+sin²t dt
=a* ∫√4sin²(t/2) dt
=a* ∫ 2sin(t/2) dt
由基本积分公式可以知道， ∫ sinx dx = -cosx+C (C为常数)
所以
原积分=a* ∫ 2sin(t/2) dt
=a* ∫ 4sin(t/2) d(t/2)
= -4a*cos(t/2) +C (C为常数)