Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM⊥MN，设MB=x

（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）若四边形ABCN的面积等于9，求x的值；
（3）当M点运动到什么位置时，以A、B、M为顶点的三角形和以A、M、N为顶点的三角形相似．

Answer 1

（1）证明：如右图所示，
∵AM⊥MN，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠NMC=∠MAB，
∴△ABM∽△MCN；
解：（2）∵△ABM∽△MCN，
∴AB：BM=CM：CN，
∴CN=x(4-x)4，
∴S四边形ABCN=12×（4+x(4-x)4）×4=9，
解得x1=2+2，x2=2-2，
故x=2+2或x=2-2；

（3）∵△ABM∽△AMN，
∴AB：CM=AM：MN，又MB=x，
AM=42+x2，
MN=MC2+NC2=(4-x)2+[x(4-x)4]2
42+x2：(4-x)2+[x(4-x)4]2=44-X，
∴4：x=42+x2：(4-x)2+[x(4-x)4]2，
4(4-x)2+[x(4-x)4]2=x42+x2，
16[（4-x）2+x2(4-x)216]=x2（16+x2），
（4-x）2（16+x2）=x2（16+x2），
16-8x=0，
解得x=2．