Question

一道数学奥赛题，AD,BE,CF,是三角形ABC的三条中线，若BC=a，CA=b，AB=c，则AD2+BE2+CF2=? 谢谢

有没有详细的过程，不要用特殊值法，谢谢。
有意联系者，本人QQ：615332420

Answer 1

答：用三角形的三边a、b、c来表示它的三条中线长如下：
AD=1/2√(2b²+2c²-a²)
BE=1/2√(2c²+2a²-b²)
CF=1/2√(2a²+2b²-c²)
借助余弦定理可以证出。只证Ma，其余证法相同。
取BC的中点D，连接AD，在△ABD中，BD=a/2，由余弦定理得
AD²=AB²+BD²-2AB*BDcosB
=c²+a²/4-2*c*a/2*cosB .................................①
在△ABC中，有：b²=c²+a²-2ac*cosB，变形为
cosB=(c²+a²-b²)/2ca...................................②
将②代入①式，得
AD²=c²+a²/4-2*c*a/2*(c²+a²-b²)/2ca
=c²+a²/4-(c²+a²-b²)/2
=(4c²+a²)/4-(2c²+2a²-2b²)/4
=(2b²+2c²-a²)/4
所以AD=1/2*√(2b²+2c²-a²)。
所以：
AD²+BE²+CF²
=(2b²+2c²-a²)/4 +(2c²+2a²-b²)/4+(2a²+2b²-c²)/4
=3(a²+b²+c²)/4

附：余弦定理：设三角形的三边为a b c，各对角分别为A、B、C，则
a²=b²+c²-2bc*cosA
b²=c²+a²-2ac*cosB
c²=a²+b²-2ab*cosC
也可以去看我以前的回答：
http://zhidao.baidu.com/question/20932728.html?si=7

Answer 2

3/4(a^2+b^2+c^2)