Question

已知a,b为锐角，a+b≠90°，3sinb=sin（2a+b） 求tanB最大值

Answer 1

3sin[(a+b)-a]=sin[(a+b)+a]
3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina
sin(a+b)cosa=2cos(a+b)sina
tan(a+b)=2tana
(tana+tanb)/(1-tanatanb)=2tana
tana+tanb=2tana -tan²atanb
tanb=tana/(1+tan²a)≤tana/(2tana)=1/2
当且仅当 tana=1时，tanb有最大值为1/2

追问

错了，tana+tanb=2tana -tan²atanb应该是tana+tanb=2tana -2tan²atanb

追答

是的，不好意思，少一个2
tana+tanb=2tana -2tan²atanb
tanb=tana/(1+2tan²a)≤tana/(2√2tana)=√2/4
当且仅当 tana=√2/2时，tanb有最大值为√2/4

追问

恩，我也算出来这个

Answer 2

解：因为3sinb=sin（2a+b）化简得：tanB=【sina*cosa】/(sina²+1)
即：tanB=【sina√（1-sina²）】/(sina²+1)
又因为【sina√（1-sina²）】≦sina²+（1-sina²）=1（当sina=1/√2时取等号）
所以tanB ≦1/(2（sina²+1)
即tanB ≦1/3
所以tanB 的最大值为1/3