Question

在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．

在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．
（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置．若不能，请说明理由；
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围；
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
..

Answer 1

（1）能。
当∠EOF=45°，且∠EOF是等腰三角形的顶角时
三角形EAF也是等腰三角形（根据等腰三角形的对称性）
AE=AF
过E作EG与AC平行，过F作FG与AC平行，EG与FG交于G点
（过程略，自己作图研究一下，不能全靠别人）不难发现AE+根号2AE=根号2
AF=AE=根号2/(1+根号2)=2-根号2
所以F点和E点在距离A点2-根号2处
当∠EOF是等腰三角形的底角时
E点或F点中，有一点与A重合，另一点在它所在的线的中点上。
（几何画图很重要）

（2）OE^2=2+x^2-2根号2xcos45=2+x^2-2x=x^2-2x+2
OE=根号(x^2-2x+2)
OF^2=2+y^2-2根号2ycos45=2+y^2-2y=y^2-2y+2
OF=根号(y^2-2y+2)
EF^2=OE^2+OF^2-2OE*OFcos45=x^2-2x+2+y^2-2y+2-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
=x^2-2x+y^2-2y+4-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
AE^2+AF^2=EF^2
(2-x)^2+(2-y)^2=x^2-2x+y^2-2y+4-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
4+x^2-4x+4+y^2-4y=x^2-2x+y^2-2y+4-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
2x-4+2y=根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
4(x+y-2)^2=2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)
2(x+y-2)^2=(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)
2x^2+2y^2+4xy-8x-8y+8=x^2y^2-2yx^2+2x^2-2xy^2+4xy-4x+2y^2-4y+4
-4x-4y+4=x^2y^2-2yx^2-2xy^2
-4x-4y+4=x^2y^2-2xy(x+y)
x^2y^2-2xy(x+y)+4(x+y)-4=0
x^2y^2-4-2(xy-2)(x+y)=0
(xy-2)(xy+2)-(xy-2)(2x+2y)=0
(xy+2-2x-2y)(xy-2)=0
xy+2-2x-2y=0或xy=2
(x-2)y=2x-2或xy=2
y=2(x-1)/(x-2)或y=2/x
当y=2(x-1)/(x-2)时0<x<1，从图象可以看出x>=1
所以，这个函数是不合理的
当y=2/x时1<=x<=2
所以y与x之间的函数解析式为y=2/x （1<=x<=2）

(好难。。。。。。。。。。。。。。。。。。。)
（3）相离或相切
当O为圆心的圆与AB相切的切点就是E点时，F点和A点重合，所以FE和AB是同一直线，因此相切
当E点不在切点时，设切点为H，因为x>1
所以E点在AH上
OH>OE
OF大于半径，所以EF与圆相离

有些细节，要自己去添加
这题真太难了！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

追问

我知道大体做法，就是不知道怎样证明，麻烦你写详细点，我一定加分

追答

具体哪个地方不懂，就问哪个地方，我再解释吧，这样分析够详细了，再详细就完全把答案写给你抄了！

追问

AE=AF
过E作EG与AC平行，过F作FG与AC平行，EG与FG交于G点
（过程略，自己作图研究一下，不能全靠别人）不难发现AE+根号2AE=根号2
这些，我要过程

追答

AE=AF利用了图形的对称性，没什么好讲的，图形画一下，就发现了，AE不等于AF无法使OEF成为等腰三角形，或者可以通过全等证明，不过说明起来比较麻烦
O是中点，BO=CO
OE=OF
加上他们有两个角等于45度
画出两种情况，证明三角形OBE和三角形OCF不全等的情况是不存在的。
就可以证明AE=AF
这么麻烦，一句对称性就搞定，何乐而不为？

至于下面的
AEFG是一个正方形
AG=根号2AE
然后通过角AOB等于45度的一半
角OEB=（180-角B）*1/2即135度的一半
再通过角OEG=90-角OEB可得
角OEG=角AOB
所以GO=GE=AE
AO=GO+AG=根2
把值代进去就是那个等式了

Answer 2

太麻烦了····
第一问很简单，，，，，作EH垂直于 BC, ∠HEO+∠OEF=90
那么 做OP垂直于 EF则∠HEO=∠POF 所以∠FOC=∠OEF（自己仔细看）
那么∠C=45°的话，△COF就是等角三角形 所以 OC=CF剩下的自己算吧···
第二问第三问嘛 太麻烦了，我不说了，不求要分，但求给你个简单方法，不需要什么计算

另外，这么简单的几何题目你都不会~~~~要加油啊
数学上最大胆的证明法就是反证法
同理，解决问题最就比的方法，就是带入未知数
这些问题你完全可以通过边角的关系，用代数的方法解决出来

自己加油吧

Answer 3

事实（2）很简单，用相似三角形，BE比CO为X比根号2，CF比OB为Y比根号2，两个相等，直接得Y=X分之2
第(3)题中
在第一小题的情况下也能切与圆O

Answer 4

看不懂！