Question

已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[π/2,π],

①求a.b及|a+b|
②求函数f（x）=a.b+|a+b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值

ps：a.b都是向量！！
求详细步骤！！！！

Answer 1

1.ab=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos(3x/2+x/2)=cos2x=2cos²x-1
|a+b|²=a²+b²+2ab=cos²3x/2+sin²3x/2+cos²x/2+(-sinx/2)²+2(2cos²x-1)=4cos²x，
∴|a+b|=√(4cos²x)=-2cosx
2.f(x)=ab+|a+b|=2cos²x-1-2cosx=2(cosx-1/2)²-3/2
∵x∈[π/2,π]，∴cosx∈[-1,0]，∴cosx=-1时，值最大是3；cosx=0时，值最小是-1。
∴最大值是3，此时x=π；最小值是-1，此时x=π/2.

Answer 2

①a*b=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos(3x/2+x/2)=cos2x
a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)
|a+b|^2=(cos3x/2+cosx/2)^2+(sin3x/2-sinx/2)^2=2+2cos2x
|a+b|=√(2+2cos2x)
②f(x)=cos2x+√(2+2cos2x)=(1+cos2x)+√2*√(1+cos2x)-1
设h(t)=t^2+√2t-1(0<=t<=√2)，h(x)递增，最小值是h(0)=-1，最大值是h(√2)=3。
所以，当√(1+cos2x)=√2，即cos2x=1，x=π时，f(x)取得最大值为f(π)=3。