Question

如图，抛物线l1：y=-x2平移得到抛物线l2，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l2的顶点为点B，

它的对称轴与l2相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：
（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标．
（2）求点C的坐标，并直接写出S的值．
（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA=12S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考公式：抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=-b2a，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）】．

Answer 1

题中l1和l2显然标反了。它(l2)的对称轴与l1(不是l2)相交于点C.

1. y = -x²平移后可以写为y + m = -(x + n)²或y = -(x + n)² - m的形式
l2由l1平移而得，且经过点O(0，0)和点A(4，0), 那么可以表达为:
y = -(x - 0)( x - 4) = -x(x - 4) = -x² + 4x = -(x² -4x +4 -4) = -(x-2)² + 4
即l2由l1向右平移2个单位，向上平移4个单位而得， y = 4x -x² = 4 - (x - 2)²
对称轴：x = 2
顶点：B(2, 4)

2. 将x = 2代入y = -x², 可得C(2, -4)
S为OB的方程减去OC的方程，然后求其在[0, 2]上的定积分：
OB的方程减去OC的方程 = 4x -x² - (-x²) = 4x
其不定积分为2x² + c (c为常数)
在[0, 2]上的定积分为S = 2*2²-0 = 8

3. 由两点式可以求得AC的方程为: (y+4)/(x-2) = (0+4)/(4-2) = 2
y = 2x - 8
设点P存在，则其坐标为(p, 2p - 8)
S△POA = (1/2)*|OA|*OA上的高 = (1/2)*|OA|*|P的纵坐标|
= (1/2)*4*|2p-8| = 4|p-4|
= 12S = 12*8 = 96
|p-4| = 24
p = 28或p = -20
P(28, 48)或(-20, -48)

Answer 2

慢慢想把