谁有椭圆的习题啊?帮下我啊!

昂凝佛NA
2007-10-28 · TA获得超过1.2万个赞
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参考:http://219.226.9.43/Resource/GZ/GZSX/DGJC/JXJH/D2/tbjx0060zw_12_0003.htm

椭圆·习题

12-1-1 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 [ ]

A.(0,∞) B.(0,2)

C.(1,-∞) D.(0,1)

点,则实数m的职值范围是 [ ]

A.(0,1) B.(0,5)

C.(1,+∞) D.(1,5)

12-1-3 已知椭圆两准线间的距离与两焦点间的距离之比是4∶3,则此椭圆的离心率为 [ ]

点P到它的左焦点的距离是 [ ]

A.8 B.10

C.12 D.14

12-1-5 一椭圆的两条准线与其一条对称轴分别交于P1,P2两点,两焦点F1,F2将线段P1P2三等分,则此椭圆的离心率为 [ ]

12-1-6 已知椭圆的短轴长、焦距和长轴长成等差数列,则此椭圆的离心率为 [ ]

12-1-7 过椭圆x2+2y2-8x+4y+2=0的一个焦点且与长轴垂直的弦长等于 [ ]

x2,x3成等差数列,F为椭圆的左焦点,则|AF|,|BF|,|CF|

[ ]

A.成等差数列 B.成等比数列

C.的倒数成等差数列 D.的倒数成等比数列

的最大值为 [ ]

0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积的最大值为 [ ]

A.b2 B.ab

C.ac D.bc

12-1-11 平面上动点M(x,y)到两定点F1(-4,0)和F2(4,0)的距离之和为2a(a>0),则动点M的轨迹是______.

12-1-12 已知两直线l1∶y=k1x+b与l2∶y=k2x-b(b为非零常数)的交点的轨迹是椭圆,则k1,k2满足的条件是_______.

12-1-13 已知中心在坐标原点,对称轴是坐标轴的椭圆的短轴的一

为________.

3)的椭圆方程为________.

x=3的椭圆方程是_______.

12-1-17 以椭圆的两焦点F1,F2所连线段为直径的圆与椭圆交于A,B,C,D四点,且六边形ABF1CDF2是正六边形,则此椭圆的离心率e=________.

在椭圆上,则△ABC的重心G的轨迹方程为_______.

F2.若PF1⊥PF2,求此椭圆方程.

12-1-22 在直线l:x-y+9=0上任取一点M,过M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆.当M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此时椭圆方程.

12-1-23 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,其中一个焦点与短

1).求此椭圆的方程、离心率及准线方程.

12-1-24 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点连

方程.

12-1-25 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上.椭圆上一点P到两焦点F1,F2的距离之差为2.∠F1PF2的平分线与椭圆长轴交于

求此椭圆长轴长的取值范围.

为点M到两焦点F1,F2的距离的等比中项.

∠F1PF2=30°.求△F1PF2的面积.

12-1-29 已知椭圆上一点P,椭圆的两焦点为F1,F2,且∠PF1F2=

影恰为椭圆的一个焦点F,求∠APA′的值.

内有两个不同的交点.求a,b所满足的条件,并画出点P(a,b)的存在区域.

12-1-32 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上.斜率为1的直线l与椭圆相交于不同两点A,B,且AB的中点Q恒在定直线y=-px(p>0且p≠1)上.求此椭圆的离心率.

12-1-33 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上.过其右焦点F作倾

12-1-34 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点的x轴上,一条准线为x=1.设倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为M,直线AB与OM夹角为α.

(1)当α=arctg2时,求此椭圆的方程;

(2)当arctg2<α<arctg3时,求椭圆短轴的长的范围.

(1)求此椭圆的方程;

(2)是否存在直线l,它与椭圆交于不同两点M,N,且线段MN恰

说明理由.

y=x+k上有两点C,D,且四边形ABCD为正方形,这个正方形外接圆的方程为x2+y2-2y-8=0.求椭圆方程及直线l的方程.

12-1-37 已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上.直线y=x+1与椭

12-1-40 已知以直线x=1为左准线,以F(2,0)为左焦点的椭圆E的短轴的一个端点为B,求BF中点P的轨迹方程.

12-1-41 椭圆的中心在坐标原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴长的比为t.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q.点

迹是什么图形.

12-1-42 已知直线l:y=kx+a与y轴交于点A,与椭圆(x-2)2+by2=1(b

时,动点P的轨迹.

上一点,射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上,并且满足|OP|·|OQ|=k·|OR|2(k为正常数).当点P在直线l上运动时,求点Q的轨迹方程.

上存在不同两点关于直线y=4x+m对称.

最大值和最小值时点P的坐标.

上存在一点M,使∠F1MF2=30°.求此椭圆的离心率e可能取得的最小值.

一点P(x0,y0)到一条准线的距离为1.求椭圆的长轴长取最大值时,椭圆的方程.

12-1-49 已知椭圆E与椭圆x2+4y2=12有公共的焦点,且椭圆E与直线x-y+9=0有公共点.求椭圆E的长轴最短时椭圆的方程.

12-1-50 已知椭圆的左顶点在抛物线y2=x-1上,椭圆的长轴长为4,且y轴为其左准线,求椭圆的离心率e最大时,椭圆的方程.

点的坐标.

上y≥3的一段弧上运动,若△ABC的内心为I(0,1),求|AB|的最大值及此时C点的坐标.

12-1-53 已知椭圆x2+4y2-2kx-16y+21=0(k>0)的两准线间的距离为

的面积最大时,直线l的方程.

条切线,点A,B为两切点.过A,B两点的直线l与x轴,y轴分别交于点M,N.

(2)求△OMN(O为原点)的面积的最小值及此时点P的坐标.

的弦AB长为m(直线AB不与x轴重合).

(1)求△AOB的面积;

(2)m为何值时,△AOB的面积最大?并求其最大值.

12-1-56 已知椭圆2x2+y2=4.过点P(1,0)作直线l与椭圆交于A,B两点.求|AB|的最大值及此时直线l的方程.

AB‖OP.求△PAB的面积的最大值,并求此时AB边所在直线的方程.

标原点,且OA⊥OB.求证:O到AB的距离为常数.

椭圆于P,Q两点.求证:以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点.

12-1-60 已知中心在原点、焦在x轴上的椭圆上一点P与椭圆短轴两端的连线分别交椭圆长轴(或延长线)于点Q,R,求证:|OQ|·|OR|为常数.

为定值.

习题参考答案

12-1-2 C 直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上

距离为r2=20-8=12。

12-1-6 B 由题设知2c=a+b,所以b=2c-a,所以b2=(2c-a)2。但b2=a2-c2,于是

12-1-7 B 将方程x2+2y2-8x+4y+2=0配方得

12-1-8 A 由椭圆焦半径公式知

|AF|=a+ex1,|BF|=a+ex2,|CF|=a+ex3

因2x2=x1+x3,所以

|AF|+|CF|=2a+e(x1+x3)=2(a+ex2)=2|BF|

故|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。

5x2+8tx+4t2-4=0

当△=64t2-80t2+80=16(5-t2)>0时,

12-1-10 D 由题设知AB不与x轴重合。

设AB所在直线的方程为ky=x,A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。

于是△AFB的面积

当k=0时,S△AFB取最大值bc。

12-1-11 若a<4,动点M的轨迹不存在;若a=4,动点M的轨



12-1-12 设P(x0,y0)为轨迹上任一点,则

两式相乘得

故当k1·k2等于一个不为-1的负实数时,两直线的交点轨迹是椭圆.

因M,N两点在椭圆上,所以

12-1-16 设P(x,y)为椭圆上任一点,则

12-1-17 边AF1,因ABF1CDF2为正六边形,则F1A⊥F2A,且∠AF2F1=60°.

12-1-18 设椭圆半焦距为c.P(x,y)为椭圆上一点,且PF1⊥

零个;

满足条件的点有2个;

个.

12-1-19 易知B,C两点坐标为(-2,0),(2,0).

设A点坐标不(x0,y0),△ABC内坐标为G(x,y),则

G的轨迹方程为

12-1-20 设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).因A,B两点都在椭圆上,故

(i)减去(ii),得

所以AB所在直线的斜率

8x+9y-25=0

为PF1⊥PF2,故

又点P(3,4)在椭圆上,则

12-1-22 F1(-3,0)关于直线l:x-y+9=0的对称点为F(-9,6),连F2F交l于M.此点即为所求.

由已知,FB′⊥FB,又|FB′|=|FB|,故△FB′B为等腰三角形,

而b=c=4.

一个端点为B(0,b),长轴的一个端点为A(a,0).

由△BF1F2为正三角形知,|BF1|=|BF2|=|F1F2|,所以

a=2c (i)

设P(x,y)为椭圆上任一点,则x∈[-a,a],所以

即|PF2|≥a-c,故焦点到椭圆上点的最短距离为a-c.于是

同理,若椭圆焦点在y轴上,则方程为

r1+r2=2a

r1-r2=2

又因为一条准线为x=8,故

由(i),(ii)得c=2,a=4,故b2=a2-c2=12.

12-1-26 如下图.设椭圆中心为M,长轴A1A2所在的直线与准线y=1交于H.

由椭圆性质知,椭圆上的点到其准线y=1的距离的最小值为|A1H|,最大值为|A2H|.因P在椭圆上,且P到准线y=1的距离为2.故|A1H|≤2≤|A2H|,即

12-1-27 如下图.由已知,椭圆长半轴、短半轴、半焦距的长分别

由椭圆定义,

设M点坐标为(x,y)则

12-1-28 由题设知a=10,b=8,故c=6,|F1F2|=12.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.

在△F1PF2中,由余弦定理得

又∠F1PF2=30°,故

所以,△F1PF2的面积

12-1-29 设长半轴长为a,半焦距为c.

在△PF1F2中,由正弦定理得

12-1-30 由对称性,设F为右焦点.则F点坐标为(c,0),这里c=

别为(-a,0),(a,0).则PA′、PA所在直线的斜率分别为

(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 (i)

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程(i)在区间(0,1)内有两相异实根.

令f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),则

同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为上图中阴影部分(不含边界).

y=x+m.直线l与椭圆的交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).AB的中点的坐标为(x0,y0).

(a2+b2)x2+2a2mx+a2(m2-b2)=0

因中点(x0,y0)恒在直线y=-px上,故

故当0<p<1时,a>b,焦点在x轴上,离心率为

当p>1时,b>a,焦点在y轴上,离心率

(c,0),P,Q两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2).

由题设,P,Q所在直线方程为y=x-c.

(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0

由△=4a4c2-4a2(c2-b2)(a2+b2)=8a2b4>0,故上面的方程有两不等实根x1,x2且

又已知OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0.而y1=x1-c,y2=x2-c,故

将(i)代入(ii),得

又b2=a2-c2,则

12-1-34 设半焦距为c.

所以a2=c,所以b2=a2-c2=c-c2>0,由此知0<c<1.

(1-c)x2+y2+c2-c=0

设直线l的方程为y=x+m.

(2-c)x2+2mx+m2+c2=0

A,B两点的横坐标x1,x2为此方程两实根,则

设AB的中点M的坐标为(x0,y0)则

由此知OM所在直线的斜率为k′=c-1,又直线l的斜率为1,故

(1)当α=arctg2时,tgα=2,则

(2)当arctg2<α<arctg3时,2<tgα<3,则

(2)假设直线l存在,设l的方程为:y=kx+m.

(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0 (i)

设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程(i)的不等两实根.方程(i)的判别式应为正,即

由韦达定理知

又因k≠0,则

将(iii)代入(ii),得

12-1-36 化圆方程x2+y2-2y-8=0为标准方程:x2+(y-1)2=9,知圆心

所以C、D两点坐标为(0,4),(-3,1).它们关于点P的对称点A、B的坐标分别为(0,-2),(3,1).

再由A,B在椭圆上,易求得a2=12,b2=4.

故所求椭圆及直线l的方程为

12-1-37 设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0),P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

(A+B)x2+2Bx+B-1=0

当△=4B2-4(A+B)(B-1)=4(A+B-AB)>0时,方程有两不等实根x1,x2,且据韦达定理有

又因为OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0.而y1=x1+1,y2=x2+1,故

将(ii)代入(i),得

故所求椭圆方程为

其判别式△=12k2+4(k2+4)=16(k2+1)>0恒成立,故上面的方程有两不等实根y1,y2.由韦达定理知

(ii)

由(i),(ii)得

12-1-39 设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y).因A,B在椭圆上,所以

两式相减,得

故轨迹为直线b2(x-x0)+m·a2(y-y0)=0在椭圆内的一段(即过椭圆中心的弦,也叫椭圆的直径).

12-1-40 设P点坐标为(x,y),由题设左焦点为F(2,0),P为BF的中点可知,B点的坐标为(2x-2,2y).

由B向直线x=1作垂线,垂足为D.

设椭圆中心为O′,则

此即为所求轨迹方程.

故椭圆方程为(t2-1)y2+t2(t2-1)x2=t2.

设P点的坐标为(x,y).

而t>1,所以P点的轨迹方程为

12-1-42 由题设知A点的坐标为(0,a).设点B,C,P的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1,y).

(x-2)2+b(kx+a)2=1

当△>0时,方程有两实根x1,x2,且

将(ii)代入(i)得

又因为P点在直线y=kx+a上,在方程y=kx+a两边同乘以ba,得

bay=bakx+ba2 (iv)

将(iii)代入(iv)得bay=2x-3.此即为P点轨迹方程.

故P点轨迹为直线2x-bay-3=0在椭圆内的一段.

12-1-43 设点P,R的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),动点Q的坐标为(x,y).

将(ii)代入(i)得

又因为P,R分别在直线l及椭圆上,故

将(i),(iii)分别代入得

消去λ2,得

故Q点的轨迹方程为

12-1-44 设椭圆上不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于直线y=4x+m对称,则直线y=4x+m是线段PQ的垂直平分线.

交点P,Q,且PQ的中点落在直线y=4x+m上.

13x2-8nx+16n2-48=0

当△=64n2-52(16n2-48)>0,即 (i)

12-1-45 设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2).

若x1=x2,则AB的垂直平分线为x轴,不合题意,所以x1≠x2.

又P(x0,0)是线段AB的垂直平分线上一点,所以|PA|=|PB|,即

将(i)代入(ii),得

设x1<x2,又由椭圆性质有-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,故

(1+4t2)x2-4x+1=0

因x∈R,则△=16-4(1+4t2)≥0,即

12-1-47 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,c=

在△MF1F2中,由正弦定理有

因r1+r2=2a,则4c(sinα+sinβ)=2a.所以

因P(x0,y0)到一条准线距离为1,即

x0=2a-1 或 x0=-(2a-1)

因P(x0,y0)在椭圆上,故

由题意得,可设椭圆E的方程为

将y=x+9代入(i),得

n2x2+(n2+9)(x+9)2=n2(n2+9)

因直线与椭圆有公共点,所以这个方程有实根,其判别式非负,即

△=[18(n2-9)]2-4(2n2+9)(n2+9)(81-n2)≥0

当n=6时,椭圆E的长轴最短.此时椭圆E的方程为

设椭圆的左顶点为P(x0,y0),则椭圆中心为O′(x0+2,y0).又y

x0=1,y0=0,故椭圆中心O′坐标为(3,0).

设椭圆上一点Q(x0,y0)到P点距离为d.因Q在椭圆上,故

12-1-52 设A、B、C三点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),(a,b).则AC,BC边所在直线方程可表示为

因△ABC的内心为I(0,1),故内切圆半径为1.所以I到直线(i)的距离为1,即

当△=4(b-1)2a2-4(a2-1)(b2-2b)>0,即

4(a2+b2-2b)>0

时,方程有两实根k1,k2,由韦达定理知

在(*)中,令y=0得x=a-kb,则x1=a-k1b,x2=a-k2b.从而

|AB|=|x1-x2|=|(k2-k1)b|

12-1-53 将方程x2+4y2-2kx-16y+21=0整理得

则椭圆中心O′坐标为(k,2),焦点在平行于x轴的直线y=2上.易知

又k>0,所以k=3。故椭圆方程为

中心为O′(3,2)。

设直线l的方程为x=m,代入椭圆方程,得

当△=162-16(m2-6m+21)=-16(m2-6m+5)>0,即1<m<5时,方程(i)有二不等实根y1,y2则

又O′到直线l的距离为|m-3|,则△O′AB的面积

由均值不等式,得

12-1-54 (1)设点P的坐标为(x0,y0)。两切点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。

因PA与圆x2+y2=b2相切,则PA所在直线方程为

同理PB的方程为x2x+y2y=b2。

因P(x0,y0)为PA,PB的交点,故

故A,B两点所在直线l的方程为

x0x+y0y=b2

(2)△OMN的面积为

12-1-55 (1)设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)。

因AB所在直线不与x轴重合,则设AB所在直线方程为

x=ky+c(k≠0)

(b2k2+a2)y2+2b2kcy-b4=0

因△=4b4k2c2+4b4(b2k2+a2)=4b4a2(k2+1)>0,所以方程有两实根y1,y2根据韦达定理有

12-1-56 设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)。

当AB不垂直于x轴时,设AB所在直线方程为

y=k(x-1)

将y=k(x-1)代入椭圆方程2x2+y2=4,得

(2+k2)x2-2k2x+k2-4=0

其判别式△=4k4-4(2+k2)(k2-4)=8(k2+4)>0恒成立,故它总有二不等实根x1,x2。根据韦达定理有

综上所述,|AB|max=3,此时直线l方程为

的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。

等实根x1,x2,故

线的方程为

12-1-58 过O作OH⊥AB于H,|OH|为O到AB的距离。在Rt△OAB中,

当OA不在坐标轴上时,设OA所在直线方程为y=kx。(k≠0),A点坐标为(x,y)。

同理可得,

12-1-59 设点A(x0,y0)在以PQ为直径的圆上,则∠PAQ=90°。

设P,Q两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。

当l不与x轴垂直时,设l方程为

4(1+3k2)x2+12k(3k-1)x+9(3k2-2k-5)=0

其判式△=144k2(3k-1)2-144(1+3k2)(3k2-2k-5)=144(13k2+2k+5)>0恒成立,故方程有两不等实根x1,x2。由韦达定理知

因为AP⊥AQ,所以

(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0 (iii)

将(iii)左边展开,并将(i),(ii)代入得

对一切实数k都成立。即点A(-3,1)恒在以PQ为直径的圆上,且在椭

显然以PQ为直径的圆过点A(-3,1)。

综上可知,过M点的任意直线与椭圆的两交点P,Q,则以PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A(-3,1)。

B′(0,-b)。

又设P点的坐标为(x0,y0)。则直线PB′方程为

直线PB的方程为

12-1-61 设P,P1,P2的坐标分别为(x0,y0),(x1,y1),(x2,

因P1在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上,故b2x12+a2y12=a2b2。将(i)代入,得

Ûb2c2(1+λ1)2+2b2c(1+λ1)x0+b2x02+a2y02=λ12a2b2

Ûb2c2(1+λ1)2+2b2c(1+λ)x0+a2b2(1-λ12)=0
簇坷冻试9800
2007-11-01 · 超过17用户采纳过TA的回答
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