Question

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数，在区间（-无穷大，0），（1，＋无穷大）上是减函数，...

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数，在区间（-无穷大，0），（1，＋无穷大）上是减函数，又f'(1/2)=3/2。问：若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)<=x成立，求m的取值范围。

Answer 1

解：f'(x)=3ax^2+2bx+c,由已知得f'(0)=c=0,f'(1)=3a+2b+c=0
f'(1/2)=3/4 a+b+c=3/2,综上解得a=-2,b=3,c=0
所以f(x)=-2x^3+3x^2
令-2x^3+3x^2≤x,整理得2x^3-3x^2+x≥0
分解因式得x(2x-1)(x-1)≥0
解得0≤x≤1/2或者x≥1
因在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)<=x成立
所以[0,m]包含在区间0≤x≤1/2内
所以0<m≤1/2

Answer 2

我跟你说说思路吧，答案打着实在是太麻烦了，对函数fx求导，然后根据条件，显然可以得到0和1是导函数等于0的两个根，从而与题中的已知条件联立，得到a，b，c的值，然后所求式子中的x移到左边来，变成fx-x《0从而将问题转化成若在区间【0，m】上恒有fx-x《0成立，求m的取值范围。然后你根据函数的基本性质做出fx-x的图像，将【o，m】与图像进行比对，即可得出答案。答案应该是很简单的，我就不给你算了。只是给你说一下思路，希望能帮到你。

Answer 3

[4，9]