Question

已知x，y，z属于R，且x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝3，则xyz最大值

Answer 1

由条件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z3-z2-z，利用导数的方法，可求xyz的最大值．
解答：解：∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1
∴xyz=z3-z2-z
令f（z）=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜-3分之1
；令f′（z）＜0，可得-3分之1＜z＜1

当z=-3分之1时，xyz的最大值为27分之5
故答案为27分之5

Answer 2

由条件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z3-z2-z，利用导数的方法，可求xyz的最大值．
解答：解：∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1
∴xyz=z3-z2-z
令f（z）=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜-3分之1
；令f′（z）＜0，可得-3分之1＜z＜1

当z=-3分之1时，xyz的最大值为27分之5
故答案为27分之5

Answer 3

因为x+y+z=1 ，所以z=1-(x+y),所以x^2+y^2+z^2=1+2(x^2+y^2)-2(x+y)+2xy=3,即（x+y)^2-(x+y)=1+xy<=1+(x+y)^2/4,解得-2/3<=x+y<=2,当且仅当x=y=-1/3时，（XYZ）max=1/9×（1+2/3)=1/9×5/3=5/27

Answer 4

令x+y=t，z=1-t，（x+y)2=t2，即x2+y2=t2-2xy
z2=1+t2-2t,
x2+y2+z2=t2-2xy+1+t2-2t=3
xy=t2-t-1
xyz=(t2-t-1)(1-t)=-t3+2t2-1
然后求导（xyz）max=5/27

Answer 5

9