Question

离散数学书一道逻辑谓词证明题急求解~~

怎么证明？答案上说不等价来着。。

Answer 1

(任意x)(P(x)->Q(x))=(任意x)(~P(x)∨Q(x))
(任意x)P(x)->(任意x)Q(x)=(任意x)~P(x)∨(任意x)Q(x)
为了更直观地看问题，设R(x)=~P(x),
则题目转化为问(任意x)(R(x)∨Q(x))与(任意x)R(x)∨(任意x)Q(x)是否等价的问题。
这个书上是有讲的，他们不等价，但是有(任意x)R(x)∨(任意x)Q(x)=>(任意x)(R(x)∨Q(x))这样一个关系存在。如果还不好理解，那么我举个例子：
x：自然数；R(x)：x是奇数；Q(x)：x是偶数；
这时(任意x)(R(x)∨Q(x))表示任一自然数要么是奇数要么是偶数，命题为真；
但是(任意x)R(x)和(任意x)Q(x)都是为假的，所以(任意x)R(x)∨(任意x)Q(x)为假，这样说明这2者并不等价。