Question

设a∈R,函数f(x)=ax^3-3x^2,

若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈【0，2】，在x=0处取得最大值，求a的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2（x+3）-3x（x+2）．
当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），
即0≥20a-24．
故得a≤6/5 ．反之，当a≤6/5时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤6/5x2(x+3)-3x(x+2)=3/5x(2x2+x-10)=3/5x(2x+5)(x-2)≤0，
而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．综上，a的取值范围为(-∞，6/5]

Answer 2

g'(x)=f'(x)+f''(x)=3ax^2+2(3a-3)x-6≤0在[0,2]上恒成立
g'(0)≤0且g'(2)≤0
a≤3/4