Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为2,并且两条对角线所成的锐角为6O°,则等腰梯形ABCD的面积为?

要详细的解释

Answer 1

解：
设ABIICD，AB为上底，过B作BEIIAC，交DC延长线于E
∵ABCD是等腰梯形
∴AD=BC
∴BD=AC=BE
∵两条对角线所成的锐角为60°
∴△DBE为正三角形
∴BD=BE=DE=AB+CD=2
且等腰梯形ABCD的面积=S△DBE=(1/2)DB*BE*sin60°=√3，
当∠BOC=60°时 ∠BDC=30°，
∴B到DE距离为√3/3， 等腰梯形ABCD的面积=S△DBE=√3/3.
∴答案为√3或√3/3.

Answer 2

令两条对角线交点为O
设上下底对角为60°,则△OAB、△OCD为等边三角形
AC=BD=AB+CD=2
SABCD=S△ACD+S△ABC
=1/2*AC*CD*sin60°+1/2*AC*AB*sin60°
=1/2*ACsin60°(AB+CD)
=1/2*2*sin60°*2=√3
设两腰对角为60°,下底对角为120°，OA=OB
根据余弦定理：
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos120°=3*OA^2
OA=√3/3*AB,
同理，OC=OD=√3/3*CD
AC=OA+OC=√3/3*AB+√3/3*CD=2√3/3
SABCD=S△ACD+S△ABC
=1/2*AC*CD*sin30°+1/2*AC*AB*sin30°
=1/2*ACsin30°(AB+CD)
=1/2*2√3/3*sin30°*2=√3/3
因此，梯形的面积为√3或√3/3

Answer 3

等于根号3，过程如图