Question

已知函数f(x)=(x^2+ax-2a-3)e^x

已知函数f(x)=(x^2+ax-2a-3)e^x
(1)若x=2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；
(2)设a<0,当x∈[1,2]时,函数f(x)的图像恒不在直线y=e^2的上方,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=(x^2+ax-2a-3)e^x
f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax-2a-3)e^x
=[x^2+(a+2)x-(a+3)]e^x
∵x=2是函数f(x)的一个极值点
∴f'(2)=0
∴4+(a+2)2-(a+3)=0
解得：a=-5
f'(x)=[x^2-3x+2]e^x=(x-1)(x-2)e^x
符合题意
∴a=-5
2
函数f(x)的图像恒不在直线y=e^2的上方
对任意x∈[1,2]，f(x)≤e^2成立，需f(x)max≤e^2
f'(x) =[x^2+(a+2)x-(a+3)]e^x
=(x-1)[x+(a+3)]e^x
当 -4≤a<0时, -(a+3)≤1 ,x∈[1,2]时,f'(x)>0 f(x)递增
∴ f(x)max=f(2)=e^2符合题意∴-4≤a<0
当-5<a<-4时，1<-a-3<2,
1<x<-(a+3) ,f'(x)<0,f(x)递减
-（a+3)<x<2f'(x)>0,f(x)递增
则需f(1)≤0,f(2)≤0
f(1)=-(a+2)e≤e^2 ==>a≥-e-2
∴-e-2≤a<-4
当a≤-5时, -（a+3)≥2
f(x)在【1，2】上递减，
f(x)max=f(1)≤2 ==>a>-e-2 与a≤-5交集为空集
综上符合条件的a的范围是【-e-2，0）

Answer 2

哦