Question

已知椭圆C：x＾2/a＾2+y＾2/b＾2=1 (a>b>0) 的离心率

已知椭圆C：x＾2/a＾2+y＾2/b＾2=1 (a>b>0) 的离心率为√3/2, 以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）＾2+y＾2=r＾2 (r>0) ，设T与椭圆C交于点M,N
1、 求椭圆C的方程
2、 求向量TM*向量TN的最小值，并求此时圆T的方程
3、 设点P是椭圆C上异于M,N的任意点，且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S，O为坐标原点，求证|OR|*|OS|为定值。

Answer 1

1
e=√3/2, c=(√3/2)a b=a/2
T(-2,0)
a=2
b=1
x^2/4+y^2=1

2 T(-2,0)
TM(Mx+2,My)
TN(Nx+2,Ny)
椭圆C和圆T关于x轴对称，My=-Ny,Mx=Nx
TM*TN=(Mx+2)(Nx+2)+MyNy=(Mx+2)^2+My^2=Mx^2-My^2+4Mx
x^2/4+y^2=1 y^2=1-x^2/4
TM*TN=(5/4)Mx^2+4Mx-1
=(5/4)(Mx+8/5)^2-1-16/5
=(3/4)(Mx+8/5)^2-21/5
Mx=-8/5 TM*TN最小
My^2=1-(1/4)Mx^2
r^2=Mx^2+My^2=(3/4)Mx^2+1=(3/4)*(8/5)^2+1=48/25+1=73/25
T:(x+2)^2+y^2=73/25